57065

Mechanika kwantowa — ćwiczenia. 2007/2008. Zestaw V FTiMS, PG

gdzie A, z € R.

11. Niech D(z) jest operatorem postaci:

D{z) = c^ti'-*‘^&, z = const. € C

Pokaż, że wektor |z) = D(z)|0), gdzie |0) jest stanem próżni oscylatora harmonicznego (a) ma postać

3    ^ n

Iz) = 0(*)|O) = e-^ ^    |n>.

,7^> V"!

(b) jest stanem własnym operatora anihilacji a z w-artością własną z, tzn. spełnia równanie: a|z) = z\z). Operator D(z) jest nazywanym operatorem przesunięcia, a stany |z) stanami kołierentnymi.

12.    Wykaż poprawność następujących relacji

(a)    D>(:)D(z)=l.

(b)    [a,    = zD(z),

(c)    |o*,D(_Z)| = z-Diz),

(d)    D*(z)aD(z) = a + z,

(e)    D^f(z)a*D(z) = a^ł + z’,

(f)    D»(z)a²D(z) = (a + z)²,

(g)    C'(!)at^!l)(t) = (o'+!f₁

13.    Pokaż, że wartości oczekiwane operatorów ń oraz fi², gdzie fi - a^a jest operatorem liczi w cząstek, w stanie kolierentnym są równe odpowiednio: (z|ri|z) = |z|² oraz (z|ń²|z) = |z|⁴ + |z|². Wyznacz nieoznaczoność liczby cząstek w stanie koherentnym |z).

14.    Wyznacz wartości oczekiwane operatorów x, p, x² oraz p² w stanie koherentnym |z), a następnie pokaż, że stan |z) dla dowolnego z minimalizuje zasadę nieoznaczoności Heisenberga, tzn. spełnia równanie AxAp —

15.    Czy energia i pęd oscylatora harmonicznego są wielkościami jednocześnie mierzalnymi? Odpowiedź uzasadnij odpowiednim rachunkiem oraz porównaj z przytułkiem układu kwantowego w postaci cząstki swobodnej.

IG. Wykorzystując twierdzenie wirialne pokaż, że średnia energia oscylatora harmonicznego określona jest równaniem: E = mui²{x²).

17. Niech T i U są operatorami odpowiednio energii kinetycznej i potencjalnej oscylatora harmonicznego. Pokaż, że wartość oczekiwana różnicy obu operatorów spełnia następujące równanie ruchu:

+ 4a?{T-V)_t = 0.

<P(T - V)_t

Odpowiedzi i komentarze

(1) Ponieważ operatory a oraz a^ł nie są hermitowskie (co łatwo sprawdzić korzystając z ich jawnej postaci podanej w treści problemu) to ich wartości własne w ogólności są zcs|>olone (a nie rzeczywiste, jak w przypadku operatorów liermitowskich). Aby pokazać, że operator a^ł nie posiada unormowanych funkcji własnych należy rozwiązać równanie własne: a^jifz) = pxi>,,(x). gdzie // 6 Z i pokazać, że jego rozwiązanie nie jest całkowalne z kwadratem (nie spełnia warunku unormowania).

(5a) (x)_n = (p)_n = 0: (i²),, = j^(2n -f 1): {p²)_n = ^jp(2n + 1): Dla stanów stacjonarnych |n) spełnione jest równanie: AxAp = § y/2n + 1 >    (5b) (x) =    : (P) = 0.

(14) <i>, =    (i²), = 3“ (-lUe²(s) + l); (p). = V2ŻZZ Io(z); (p²), = *5* (U...²(c) + 1): Iloczyn

nieoznaczoności pomiaru położenia i pędu dla stanów koherentnych spełnia równanie AxAp = |. czyli przyjmuje najmniejszą dopuszczalną przez zasadę nieoznaczoności Heisenberga wartość równą 5. Wiadomo, że W’ ogólności mamy: AxAp > 5. Uwaga: zasadę nieoznaczoności minimalizuje też stan próżni |n — 0), który jest przykładem szczególnym stanu koherentnego dla 2=0, tzn. |0) = D(0)|0).

2