57063

Mechanika kwantowa ćwiczenia. 2007/2008. Zestaw IV FTiMS, PG

Wiadomo, że chwili początkowej, t = 0. funkcja falowa cząstki ma postać:

V-(^r. t = 0) = ( \/S    - ^)    (2)

y 0    dla pozostałych x

Wyznacz

(a)    postać funkcji falowej i/t(x,t) dla dowolnej chwili czasu t > 0,

(b)    średnią energię cząstki w stanie opisanym przez 0(x, <), t > 0. Porównaj wynik ze średnią energią cząstki w chwili t = 0,

(c)    prawdopodobieństwo togo, że cząstka znajduje się w olwzar/e 0 < x < a.

5. Cząstka o masie m jest zamknięta w jednowymiarowej studni potencjału. W chwili ł = 0 unormowana funkcja falowa opisująca tę cząstkę ma postać

Wyznacz postać funkcji falowej ę>(x,f) dla t > 0.

6.    Wykorzystując jednowymiarowe zależne od czasu równanie Schródingera, wyprowadź kwantowe równanie ciągłości postaci

Midi + div?(*,Ł) = 0, p{x,Ł) = |0(*, Ol².

Wyznacz gęstość prądu prawdopodobieństwa j(x.t) w przypadku, gdy tl>(x,t) jest wk*lkością rzeczywistą.

7.    Pokaż, że dla funkcji falowej ę>(x, <) spełniającej zależne od czasu równanie Schródingera z potencjałem V(x), spełnione jest równanie

J dx |t^(x,0|² = 0.

-30

8.    Niech l>(x, t) jest funkcją falową cząstki, a p_nb(t) opisuje prawdopodobieństwo znalezienia tej cząstki w obszarze a < x < b w chwili czasu t. Pokaż, że zachodzi równanie

gdzk* j(x,t) jest gęstością prądu prawdopodobieństwa.

9.    Pokaż, że gęstość prądu prawdopodobieństwa j(x,f) związana z jednowymiarowym pakietem falowym 0(x,t) spełnia równanie

— 30

Zinterpretuj to równanie (porównaj z teorią klasyczną) w przypadku gdy gęstość prądu prawdopodobieństwa j(x,t) zostanie zastąpiona przez ej(x,ł), gdzie e jest ładunkiem cząstki reprezentowanej przez pakiet t/>(x, ł).

10. W przypadku cząstek stabilnych opisywanych w jednym wymiarze, prawdopodobieństwo p(-oo.oo) znalezienia cząstki w obszarze (—00,00) jest stałe w czasie (niezależne od czasu) i wynosi 1. Sytuacja ulega zmianie dla cząstek niestabilnych, mogących ulegać spontanicznemu rozpadowi (anihilacji). Prawdopodobieństwo, p. znalezienia cząstki g<lzickolwick w przestrzeni nie jest wówczas zachowywane (cząstka może spontanicznie anihilować) i jest funkcją czasu p — p(t). Opisu cząstek tego typu dokonuje się poprzez wprowadzenie potencjału zespolonego ogólnej postaci

V(x) = V_r(x) - l'Vj.

Pokaż, że j>odany wyżej potencjał w post aci zesjKłlonej, prowadzi do

2