0345

346

V. Funkcje wielu zmiennych

Postawimy teraz pytanie, w jakim kierunku w danym punkcie będzie funkcja rosła najszybciej'? Pytanie to ma oczywiście sens tylko w tym wypadku, gdy pochodne

(14)

a —

d/(*o, yo» Zq) dx

b =

d/(x₀, )'₀, z₀)

c =

d/(x₀»-^o. z₀)

nie równają się jednocześnie zeru, w przeciwnym bowiem razie pochodna w dowolnym kierunku byłaby równa zeru.

Przy tym założeniu przekształcimy wyrażenie (12):

/-2--2-2“/ O    b    c

a cosa + /> cos/j + c cosy = va + h +c    cosa+ — cos/łH—=cosy

\V-    V-    V-

Ułamki w nawiasach można rozpatrywać jako kosinusy kierunkowe pewnego kierunku g:

a    b    c

—j= = C OSA,    -7=1-    =cos/i,    —— = cosv

V...    v-    V-

wówczas otrzymamy

\la² + b² + c² (cos A cos a 4- cos p cos /? + cos v cos y).

Jeśli wreszcie oznaczymy przez (g, /) kąt między kierunkami g i /, to na mocy wzoru z geometrii analitycznej otrzymamy

(15)    ^- = y/a² + b² + c² cos(g, l).

81

Jasne jest teraz, że jeśli / zidentyfikujemy z g, to pochodna ta osiągnie największą wartość

^=vV + b² + c²

dg

¥

8z

2

Wektor g, mający rzuty (14) na osie współrzędnych, wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji, a jego długość \g\ daje wielkość odpowiedniej pochodnej. Wektor ten nazywa się gradientem funkcji f(M~)—f(x,y,z).

Jeśli wzór (15) przepiszemy w postaci

df

81

Mcos($, /),

dostrzeżemy łatwo, że wektor, który otrzymaliśmy odkładając w kierunku / odcinek 8fjdl, jest po prostu rzutem gradientu na ten kierunek.

185. Niezmienniczość wzoru na pierwszą różniczkę. Niech funkcja u=f(x, y, z) ma pochodne cząstkowe ciągłe u_x, u'_y, przy czym *, y, z są z kolei funkcjami nowych zmiennych t i v:

x=ę(t,v),    y=y/(t,v), z = x(t, v)