9414912643

9414912643



Rozdział 4

Elementy teorii miary

Zajmiemy się teraz całkowaniem funkcji wielu zmiennych. Czytelnik wie już, że do ważnych zastosowań całki należy obliczanie pól i objętości. Okazuje się, że pytania jakie funkcje wolno (próbować) całkować1? dla jakich podzbiorów przestrzeni można w ogóle określić ich objętość? są subtelne, a odpowiedzi na te pytania wymagają głębokiego wniknięcia w pogranicze teorii mnogości i topologii.

Zacznijmy od przykładu, który dobitnie wyjaśnia, że funkcji, która miałaby naturalne pożądane cechy miary, nie można określić na wszystkich podzbiorach prostej.

Przykład 4.1 (G.Vitali). Nie istnieje funkcja /t: 2R> [0,+oo)U{+oo}, która spełniałaby następujące warunki:

(i)    p([a,b]) = b- a dla każdego przedziału [a,b] C E;

(ii)    /i(0) = 0;

(iii)    przeliczalna addytywność: Jeśli zbiory Ai C E, i = 1,2,..., są parami rozłączne, to

MUŁ M) = EŁMM);

(iv)    niezmienniczość ze względu na przesunięcia: dla każdego zbioru V C E i każdej liczby t G E jest p(t + V) = p(V).

Przypuśćmy, że taka funkcja // jednak istnieje. Określmy relację w zbiorze E: przyjmijmy, że x ~ y wtedy i tylko wtedy, gdy x — yeQ. Łatwo zauważyć, że jest to relacja równoważności: x ~ x dla każdego x e E, gdyż x — x — 0, a 0 € Q; jeśli x ~ y, to także y ~ x, gdyż y — x = — (x — y) jest liczbą wymierną, gdy x — y e Q; wreszcie, x ~ y i y ~ 2 pociąga za sobą x ~ 2, gdyż x — z — (x — y) + (y — z), a suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna.

Każda klasa abstrakcji [z] ma reprezentanta y € [0,1]; to wynika stąd, że x ~ x + k dla każdego x € E i każdego k € Z. Korzystając z aksjomatu wyboru, utwórzmy zbiór V C [0,1], który zawiera dokładnie jednego reprezentanta każdej klasy abstrakcji. Rozpatrzmy zbiór

W= U (t + V),

teQn[-i,i]

tzn. sumę mnogościową przesunięć t + V zbioru V o wektory wymierne t z przedziału [—1,1]. Ponieważ V C [0,1], więc W C [—1,2]. Ponadto, dla różnych ti,t2 zbiory t\ + i £2 + V są rozłączne: gdyby t\ + vi = t% + V2 dla pewnych t\ t2 € Q i V\, V2 G V, to mielibyśmy tą — V2 = <2h G Q i t>2 ^ fi, tzn. tą ~ t»2 byłyby różnymi elementami tej samej klasy abstrakcji, wbrew definicji V.

80



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
8.    R. Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy (funkcji wielu zmiennych), wyd. 5.,
Matematyka 2 3 172 111. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 3. g>6V2it. c) 20ti , d)
Matematyka 2 7 III. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH1. OKREŚLENIE CAŁKI PODWÓJNEJ I JEJ IN
Matematyka 2 7 146 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych PRZYKŁAD 2.1. Obliczymy całki pod
Matematyka 2 9 148 111 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Jj2xydxtJ^= jj2xydxdy+ Jj2xydxdy,
Matematyka 2 1 160 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 160 III. Rachunek całkowy funkcji
Matematyka 2 5 164 11! Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych4. ZASTOSOW ANIA GEOMETRYCZNECAŁKI
Matematyka 2 9 168 III. Ruchunek całkowy funkcji wielu zmiennych b) Sjest częścią paraboloidy z =
Matematyka 2 1 170 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 0 V = {(x.y.z)€R*: -lśz<l+7x:+y
Matematyka 2 7 176_111 Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych_ Kizywą daną równaniami parametryc
Matematyka 2 1 180 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 12 (4r + l)5 -Mi 13 6 b) Okrąg x:
Matematyka 2 3 182 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 0(1,2), C(l,-i), c) j(x + l)yd/ .j
Matematyka 2 1 190 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennyyh y = x 1 od punktu (2 J) do punktu
Matematyka 2 !3 212 111. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych I ni2    _ i=
Zajmiemy się teraz interpretacją geometryczną pewnych pojęć wprowadzonych w teorii liczb zespolonych
img192 192 Zajmiemy się teraz wyznaczeniem widma gęstości mocy procesu (1.5.1). W tym celu znajdujem
16 3. Generowanie zmiennych losowych I. Ogólne metody Zajmiemy się teraz pytaniem, jak „wyprodukować
Image38 (9) ProgramowanieAlokacja znakówspecjalnych Zajmiemy się teraz elementem, który jest główną
Depresja u dzieci i mlodzieży 9 (19) Rozdział trzeciDepresja u dzieci i młodzieży Skoncentrujemy s

więcej podobnych podstron