Matematyka 2 1

160 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

160 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

"V

b) Obszar D przedstawiony jest na rysunku 3.6 b). Przyjmijmy oznaczenia

D, ={(x,y)eR²: x²+y²<y|,

D₂={(x,y)eR²: x²+y²<9 a (x>0 v y>0)}.

Rys 3.6

Wówczas D₂ = DuD|, przy czym obszary’ D i Dj nie mają wspólnych punktów wewnętrznych Zatem

JJxdxdy= JJxdxdy+ JJxdxdy

D_r    O    U,

a stąd

JJxdxdy= J{xdxdy- JJxdxdy= {*=^y-«to,.|,

D    Dj    D,

A₂ =    a 0<r<3)

Aj =-{(r.o):0<<pis A0<r<sxmp}

=JJr²cosęłdrd(p - jjr^: costpdrdip =

x wnsi

= | [ Jr² cos<pdr]d(p— J( |r^: cosipdr]d<p =

-*/2 0 0 0

K    TC    Ir

= |9cos(pd(p-J|sin'q)COSCpd(p=9sin<p|*_n^—p^sin^J(pj_o =9 ■

-x/2

3 Zamiana zmiennych w calce podwójnej

161

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1 Opisać nierównościami ora/ naszkicować obszar A, który jest obrazem trójkąta D ograniczonego prostymi y-2x = 0, 2y-x=0, x+y=3 w przekształceniu u = 2y-x, v = y-2x.

2.    Opisać nierównościami i naszkicować obszar A. który jest obrazem czworokąta D= {(x,y)eR²: 0<y<2 a y-2£x< 1} w przekształceniu- u = y-2, v = x-y+l.

3.    Znaleźć obraz A obszaru D= {(x,y)eR':4x²+9y‘<36 ax<0| w przekształceniu u = 2x, v = 3y. Obliczyć jakobian tego przekształcenia oraz naszkicować obszary D i A.

4 Opisać nierównościami i naszkicować obszar A, którego obrazem w przekształceniu x = rcos<p. y=rsin<j> przy założeniu. Ze r>0 i 0<<p<2n .jest obszar D:

a)    D = {(x,y)€R²: x²+y²<9 a x>0 a y<0J.

b)    D = {(x,y)eR²: lśx²+y²<9 a y<0},

c)    D = {(x.y)eR²: l<x²+y² <4 a -y<x<y|,

d)    D=Rx,y)eR²: x² + >r^9}.

5. Obliczyć całki podwójne:

a)    JJxy²dxdy, jeśli D = {(x,y)eR²: x^:+y²<l a x>0}, d

b)    JJx²dxdy_f jeśli D={(x,y)eR²: x²+y^: a y£0}. o

c)    JJx(x² + y²)dxdy, jeśli D=Hx,y)eR²: x^:+y²<l a y>xK

n

d)    JJy²dxdy. jeśli D={(x,y)eR²: x²+y²<4 a ~x£y<x}, o

e)    |J(x²-y² )d^xdy. jeśli D = {(x,y)€R²: x²+y²<l a —x < y < OJ. D