Matematyka 2 5
144 III. Rachunek całkowy funkcji wiciu zmiennych
JJf( x.y )dxdy ^ JJg( x, y )dxdy.
D D
(6) (dwustronne oszacowanie całki podwójnej). Jeżeli f jest funkcją całkowalną na regularnym obszarze DcR' oraz dla (x,y) eD. zachodzi nierówność m < f(x.y) < M, to
m|D|< j]Y(x,y)dxdy<M|D| o
(7) Zmiana wartości funkcji f w punktach leżących na skończonej liczbie wykresów funkcji postaci y = y(x) lub x = x(y) zawartych w regularnym obszarze D nie wpływa na calkowalność tej funkcji w obszarze D ani na wartość całki podwójnej, jeśli całka na tym obszarze istnieje.
Własności te dowodzi się korzystając z definicji całki podwójnej. Dla przykładu udowodnimy własność (5).
Dowód (5). Prawdziwość tej własności wynika z następującego ciągu implikacji
|
f(x,y) |
< |
g(x.y) dla (x,y) € D |
|
U | ||
|
f(x,.y.) |
£ |
g(x,ty,) dla (x,,yl)eD,,i = 1,2,..„n |
|
0 | ||
|
f(x,.y,)AD( |
s |
g(x,,y,)AD, dla (xl,y,)eD|ti = l,2,...,n |
|
U | ||
|
]Tf(x|fy,)AD1 |
< |
n ^gd^.y^AD, |
|
i«l |
U |
i=i |
|
n £f(Xj,yi)AD| |
< |
n ^TgO^yJAD, |
|
u | ||
|
JJf(x,y)dxdy |
jjg(x,y)dxdy. |
Zamiana calkj podwójnej na iterowaną
(DWUKROTNĄ) Podamy teraz twierdzenie dotyczące sposobu obliczania całki podwójnej na obszarze normalnym.
TWIERDZENIE 2.1 (o zamianie całki podwójnej na iterowaną) Jeśli funkcja f jest ciągła na obszarze D normalnymi względem osi 0x, przy czym
D* ł(x,y) eR:: a<x<b a g(x)<y<h(x)}, to
b h(»)
JJf(x,y)dxdy = jf Jf(x,y)dyldx.
r> * gu i
Jeśli zaś obszar D jest normalny wzglądem osi Oy. przy czym
D- |(x,y) gR2: c<y<d a k(y)<x< l(y)}. to
d Ify)
JJf(x.y)dxdy= j[ Jf(x.y)dx]dy.
D c k(y)
W przypadku szczególnym, gdy obszar D jest prostokątem o
bokach równoległych do osi 0x i Oy, przy' czym
D={(x,y)€R2: a<x£b a c<y<d|, to
b d d b
JJf(x.y)dxdy = Jł|f(x.y)dy]dx= Jł Jf(x,y)dx jdy.
o ■ c c«
WNIOSEK. Jeżeli obszar D jest prostokątem D = {(x,y)eR2: a<x<b AC<y<d|
oraz funkcja f daje przedstawić sią w postaci iloczynu
f(x,y) = <p(x)v(y).
przy czym funkcje (p i v są ciągłe odpowiednio na przedziałach < a,b > i <c,d >, to
b d
JjY(x.y)dxdy = ( J<0(x)dx )( J<^(y)dy).
O » e
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka 2 3 142 III. Rachunek całkowy funkcji wiciu zmiennychRys 1.6. ZADANIA DO ROZWIĄZANIA. I
Matematyka 2 7 146 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych PRZYKŁAD 2.1. Obliczymy całki pod
Matematyka 2 1 160 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 160 III. Rachunek całkowy funkcji
Matematyka 2 5 164 11! Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych4. ZASTOSOW ANIA GEOMETRYCZNECAŁKI
Matematyka 2 1 170 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 0 V = {(x.y.z)€R*: -lśz<l+7x:+y
Matematyka 2 1 180 III. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 12 (4r + l)5 -Mi 13 6 b) Okrąg x:
Matematyka 2 3 182 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 0(1,2), C(l,-i), c) j(x + l)yd/ .j
Matematyka 2 1 190 III Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennyyh y = x 1 od punktu (2 J) do punktu
Matematyka 2 5 194 III Riuhunfk całkowy funkcji wielo zmiennych czyli b (a)
Matematyka 2 5 94 11 Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmtrnnyyh lim f(p,„) = i, lim f(p"n )
Matematyka 2 7 III. RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH1. OKREŚLENIE CAŁKI PODWÓJNEJ I JEJ IN
Matematyka 2 3 172 111. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych 3. g>6V2it. c) 20ti , d)
Matematyka 2 3 72 11 Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych A = {X€R: a<x<b},a<b, B
Matematyka 2 5 74 II Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych 12. Naszkicowa
Matematyka 2 9 78 II. Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych W konsekwencji, dla n > K =
Matematyka 2 5 84 II, Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych Równanie x* + y’+ z3 - I określ
Matematyka 2 1 110 II. Rachunek różniczkowy funkcji wiciu zmiennych d2f = f”dx: +2f"dxdy + f;
Matematyka 2 5 124 II. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych ma dwa rozwiązania: x = - /-j2
Matematyka 2 1 140 III. Rachunek calkuwy funkcji wetu zmiennych Interpretacja geometryczna Niech f
więcej podobnych podstron