Matematyka 2 5

194 III Riuhunfk całkowy funkcji wielo zmiennych

czyli

b

(a) | P( x,y )dx = J( P( x.g( x)- P( x,li( x ))dx.

K    a

Następnie weźmy pod uwagą prawą stronę równości (I): b hlxi    b

-JjH;(X.y)óxdy = -Jl Jp;(X,y)dy]dx = -|P(x,y)''dx =

D    a glM    9

b

= “ J( P< *• h(x))- P(x,g( x ))dx.

u

Stąd

b

*» -Ifr x,y)dxdy =- f|P(x.u(x)-l^,(x.h(x))dx.

» «

Z (a) i (ł>) wynika natychmiast równość (I).

L o

Analogicznie, wykorzystując założenie normalności obszaru wzglądem osi Oy. uzyskujemy równość (2). co kończy dowód.

Uwaga I. Zauważmy, że dowod dla obszaru przedstawionego na rysunku 7.8 nie zmienia się istotnie, gdyż Jl'(x,y)dx po odcinkach skie-

K

rowanych NN ’ i M’M jest równa zeru.

Uwaga 2. Twierdzenie (ireena pozostaje prawdziwe dla dowolnego obszaru, który można podzielić na skończoną liczbą obszarów normalnych wzglądem obu osi układu i ktorego brzegiem jest skierowana dodatnio krzywa kawałkami gładka.

PRZYKŁAD 7.3 Obliczymy następujące całki krzywoliniowe:

a) j*(xy+e^-' )dx+(x²-c~' )dy, jeśli K jest skierowanym do-K

datnio brzegiem obszaru D ograniczonego parabolami y = 4-x^:, y = x³-2x,

_K l+x‘^t + y*    l + x +y"

h) J(2y

—)dx-*-(3x +-^—_r)dy, jeśli K jest

dodatnio skierowanym okręgiem o równaniu x² + y^: - y = 0

a) Krzywa całkowania K jest skierowanym dodatnio brzegiem obszaru (rys. 7.10)

D= |(x.y)eR*: -l<x<2 a x^:-2x<y<4-x^:|.

Rys 7.11

Stosując twierdzenie Grccna otrzymujemy

j(xy+c~*^ł)dx+(x²-c‘^y* )dy ⁼|q;    jjxdxdy =

K    L>

2 4    2    -,ł

= J[ Jxdy]d.\= |x(4+2x-2x^: )dx = j 2x² + |x'-|x^J =-.

-lx^J-2x    ^L    *

b) Korzystając 7 twierdzenia Greena zamienimy daną całkę krzywoliniową na całkę podwójną po kole D określonym nierównością x² +y^:-y£0, (rys. 7.11). Ponieważ

2    2 2 *    2.

(l+x² + y²)^{2    y}

p' =7-

.2 . ..2\2 • ^ry

Q'_x=6x-

zatem

2xy    _D,    2xy

(l + x‘ + y')

f( 2y^-?—~)dx + (3x² +-^—_r)dy - f f(6x -2 )dxdy =

7.    I + x ‘ + y*    l + x +v‘