Matematyka 2 7

166 111. Rachunek całkowy funkcji me/u zmiennych

D={(x,y)eR²: x^:+y^:<9}. a stąd, zgodnie z (4.1), mamy

|V|= JJ(4— x² -y² -(-5))dxdy= JJ(9-x^:-y*' )dxdy

3 2n

JJ₍'J—r* _)rdrdip = J| J(9r-r^J ki*

I) 0

_,J9 > I_r4l⁵_81_ L2^r'4^r| 2*

POLE PLATA POWIERZCHNIOWEGO Wykres funkcji z=f(x.y) ciągłej na regularnym obszarze DeR' nazywamy piatem powierzchniowym. Płat powierzchniowy jest w ięc zbiorem postaci

S={(x.y.z)eR³: z = f(x.y) a (x,y)eDj.

JeZcli ponadto pochodne f' są ciągłe na obszarze D, to płat S nazywamy piatem powierzchniowym gładkim względem płaszczyzny Osy.

Analogicznie: zbiór

S= |(x,y,z)eRy = g(x,z) a (x,z)eD} nazywamy płatem powierzcłiniowym gładkim względem płaszczyzny Oxz, gdy funkcja g i jej pochodne g*. g* są ciągłe na obszarze regularnym D; zbiór

S = {(x,y,z)eR³: x = h(y,z) a (y.z)eD) nazywamy płatem powierzchniowym gładkim względem płaszczyzny Oyz, gdy funkcja h i jej pochodne h’_y, h*_t są ciągłe na obszarze regularnym D.

Na przykład: a) Równanie

z = 2x + y-6 dla (x,y)eD = {(x,y)eR²: 0<x<3 a 0<y<6-2x} określa płat powierzchniowy S gładki wz.ględem płaszczyzny Oxy. Jest to ta część płaszczyzny z=2x-»-y-6, której rzutem prostokątnym na płaszczyznę Oxy jest trójkąt określony nierównościami: 0<x<3, 0<y<6-2x. czyli

S={(x,y«z)eR³: z=2x+y-6 a 0£x<3 a 0<y<6-2x}

b)    Wykres Funkcji x=l+y²+z², (y.7)€l). gdzie

D = {(y.z)eR²: y²+z²<l|

jest płatem powierzchniowym gładkim względem płaszczyzny Oyz. Jest to część paraboloidy x = l + y² + z² wycięta walcem o równaniu y² +7^: = I. Płat ten można opisać następująco:

S= |(x.y.z)€R^l: x=l + y^:+z² a y^:+z^:<l}.

c)    Wykres funkcji x = l+^y^:+z² , (y,z)€D. gdzie

D = |(y,z)€R²: y² + z²<l|

jest płatem powierzchniowym, który jest częścią stożka \ - I y² -*-z² wyciętą walcem y² + z^: =1. Nic jest to jednak płat gładki, gdyż nie istnieją pochodne x'_yt x', w punkcie (0,0).

TWIERDZENIE 4.2. Pole |S| płata powierzchniowego S gładkiego względem płaszczyzny 0xy określonego równaniem

z = f(x,y). (x.y)eD,

wyraża się wzorem

(4.2)    |S|= jj^l+(f;(x.y))²+(f;(x.y))²dxdy.

D

Analogicznie pole płata powierzchniowego S gładkiego względem płaszczyzny 0xz określonego równaniem

y = g(x,z), (x.z)eD.

wyraża się wzorem

(4.3)    |St=}JVl⁺(8'«(^,t^))²⁺(gi(^x-^:£»^J<^))<dz-

D

PRZYKŁAD 4.2. Obliczymy pole płata powierzchniowego

S. gdy

a) S jest częścią stożka z = ^x^: + y² , której rzutem na płaszczyznę 0xv jest obszar D={(x,y)€R^:: 4<x^: + y²<9 a -x<y<x|.