Matematyka 2 7

156__111. Rurhunck całkuj funkcji wiciu zmiennych

(rys 3.4 aj) w przekształceniu (3.2) jest obrazem prostokąta

A=((r,<p)eR’: l<r<2 a

Ł    a!

Dodajmy, żc w obu przykładach odwzorowanie wnętrza obszaru A na wnętrze obszaru D jest wzajemnie jednoznaczne.    ■

Zamiana zmiennych w calce podwójnej w

pierwszym tomie książki poznaliśmy twierdzenie o zamianie zmiennej w całce oznaczonej (łw o całkowaniu przez, podstawianie). Teraz podamy twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej

TWIERDZENIE 3.1 (o zamianie zmiennych w całce podwójnej).

Jeżeli

1) funkcja f(x_ty) jest ciągła na regularnym obszarze D,

2)    układ funkcji x=x(u,v), y=y(u.v) przekształca regularny obszar A na obszar D. przy czym przekształcenie wnętrza obszaru A na wnętrze obszaru D jest wzajemnie jednoznaczne,

3)    funkcje x(u.v), y(u.v) są klasy C¹ na pewnym obszarze A₀dA, przy czym wyznacznik funkcyjny

(3.3)

y;

jest różny od zera wewnątrz, obszaru A, to

(3.4)    JJf(x.y)dxdy- JJf(xlu.v).y(u.v))|J(u.v)[dud\

l)    A

Dodajmy, zc wyznac/mk funkcyjny (3 3) nazywan;. jakobianem rozwalanego przekształcenia

Uwaga Wzór (3.4) pozostaje prawdziwy, gdy założenie 2) tego tw ierdzenia nie jest spełnione w punktach leżących na skończonej liczbie wykresów funkcji postaci ,\ = x(y). y = y( x) zawatych w obszarze D lub u = u( v), v = v( u) zawartych w obszarze A

W dalszym ciągu będziemy korzystać z twierdzenia 3.1 przede wszystkim w przypadku zamiany zmiennych prostokątnych x i y na w spółrzędne biegunowe r i :

x = rcos<p, y=rsin<p.

gdzie r>0, a <p przyjmuje wartości z dowolnego przedziału o długości 2k . Zamiana taka jest szczególnie korzystna, jak sic dalej przekonamy gdy obszar całkowania jest kołem, pierścieniem lub ich wycinkiem, a funkcja podcałkowa jest postaci f( x,y)= g(x^: ■+ y^:). Ponieważ jakobian tego przekształcenia jest równy

*;			COSKp	-rsinip
V,	y;		sinip	rcostp

więc wzór (3.4) przyjmuje postać

(3.5)    jjf(x,y)dxdy= rcosip.rsimpjr drdip.

o    a

PRZYKŁAD 3.3. Obliczymy całki:

a)    ffV*Wdxdy.gdy D = ł(x.y)eR": x^:+y^:<l a x>0|. d

b)    |J(x²+y^: )dxdy. gdy D = ł(x,y)eR² 4<x^:-t-y^: <9 av>0), o

c)    JJ(x-y²)dxdy. gdy D = {(x,y)eR²: x*'+4y²<4 a x>0). d

a) Obszar D jest obszarem normalnym względem obu osi układu (rys 3_5 a)). Można więc zapisać ten obszar jako normalny względem osi Oy i daną całkę podwójną zamienić na i terowaną:

+y²dxdy = jL>= ł(x.y): \*y<\*Q<\ś.J\-y² )j =

D

i V*-y' _

= Jl J Y^y«ix]dy.

-i o

Obliczenie otrzymanej całki wymaga jednak kłopotliwych rachunków.

Postąpimy inaczej. Zastosujemy zamianę zmiennych \ i y na współrzędne biegunowe r i tp:

x=rcosn>. y=rsmtp.