Matematyka 2 7

■

186_111. Rm huntk. calkony funkcji wiciu zmiennych

^sn =    ^p<^x,.y.,)<Aa, -hQ(X,..y,yAy,]-

Utwórzmy następnie normalny ciąg podziałów łuku K na luki częściowe, (tzn., że 5_n —>0 przy n-+^) i odpowiadający mu ciąg (S_n). Rozważmy granicę

n

lim S_n= lim Y[P(^.y,)Ax, + Q(x,.y,)Ay_s 1

n-w    t>—kc

i=l

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów luku K. i każdego wyboru punktów pośrednich (x„y,) na lukach częściowych istnieje ta sama skończona granica ciągu (S„), to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną (zorientowaną) pary funkcji P. Q po łuku gładkim skierowanym K o początku A i końcu B i oznaczamy symbolem

J P(x,y)dx+Q(x,y)dy lub j P(x,y)dx+Q(x.y)dy.

K    AD

Zatem

fp(x,y)dx + Q(x,y)dy = lim Y[P(x,,y,)Ax, +Q(x_t,y,)Ay,].

K

7. definicji tej wynika. Ze:

Jeżeli istnieje całka krzywoliniowa skierowana pary funkcji P i Q po łuku skierowanym K. to istnieje całka tych funkcji po łuku przeciwnie skierowanym -K , przy czym

| P( x. y )dx+Q( x. y )dy = - |p( x. y kl \»Q(x. y )dy -K    K

Załóżmy, że K jest krzywą skierowaną kawałkami gładką, którą

można podzielić (por. rys. 7.5) na n łuków gładkich K,,K₂.....K_n Całką

krzywoliniową skierowaną funkcji P i Q po krzywej K. określamy równością

(7.2)

| P( x, y )dx+Q( x, y )dy

K

drf

X {P(x.y)dx+Q<x.y)dy.

'=1 K,

Całką krzywoliniową skierowaną funkcji P i Q po krzywej zamkniątej K oznacza sią także symbolem

cjP(x,y)dx-*-Q(x,y)dy.

K

TWIERDZENIE 7.1 Ciągłość funkcji P i Q na hiku gładkim skierowanym K jest warunkiem wystarczającym istnienia całki

jV(x.y)dx-fQ(x,y)dy.

K

Inaczej: Jeżeli funkcje P i Q są ciągłe na łuku gładkim skierowanym K. to są całkowalne na tym łuku.

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ Praca W stałej siły F na drodze prostoliniowej ś jest równa iloczynowi skalarnemu:

W=Foś.

Oznaczając przez P. Q oraz Ax,Ay współ rządne odpowiednio siły F i drogi ś otrzymujemy

W = pAx + QAy.

Zdefiniujemy teraz pracą zmiennej siły F(x,y) = [P(x,y).Q(x,y)]

na łuku gładkim skierowanym KcOxy, przy założeniu, żc funkcje P, Q są ciągłe na tym łuku.

Podzielmy łuk K tak. jak w definicji całki krzywoliniowej skierowanej. Iloczyn skalamy P(x₁.y,)Ax_l+Q(x,,y,)Ay_l jest równy

pracy stałej siły F = [P(x,,yj ).Q(Xj.y, )J na drodze prostoliniowej