Matematyka 2 9

138 III. Rut hunek całkowy funkcji witłu zmiennych

łych obszarów częściowych Dj odpowiednio o polach AD,, i = 1.2.....n ,

w ten sposób, by

1° żadne dwa obszary D,.D . i*j nie miały wspólnych punktów wewnętrznych,

2° suma obszarów częściowych D, była obszarem D (rys 1 3)

D = D|UD₂u---oD„.

Rys 1.3

Niech d, oznacza kres górny odległości dwu dowolnych punktów obszaru Dj; jeśli obszar D, jest prostokątem o długościach boków A\_itAy,. to d, jest długością przekątnej tego prostokąta, a pole AD, = Ax, Ay,. Liczbę

A’_n =max(d_l,d₂,...,d_n) nazywa się średnicą tego podziału

W każdym obszarze częściowym D, obierzmy punkt pośredni (x,,y,) i utwórzmy sumę

n

^s«, = nx,,y, )AD,+f(x₂,y₂)AD₂+‘-*+f(x_n,y_n)AD_n= £f(*i.y, )ADj.

Sumę S_n nazywamy sumą całkową (sumą całkową Ricmanna) funkcji f na obszarze D

Utwórzmy teraz normalny ciąg podziałów obszaru D na obszary częściowe, to znaczy taki ciąg, że 5_n -» 0 przy n —> x; ciągowi temu odpowiada ciąg (S_n) sum całkowych funkcji f. Rozważmy granicę

lim S_n = lim Vf(x,,y_i)AD₁.

n

n —k    n k f

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D i każdego wyboru punktów pośrednich (^.yj) w obszarach częściowych istnieje ta sama skończona granica ciągu (S„), to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji f na obszarze D i oznaczamy symbolem

D

Zatem

Funkcję f. dla której istnieje całka podwójna na obszarze D, nazywamy funkcją całkowalną (w sensie Riemanna) na obszarze D

Całkę podwójną funkcji f na zbiorze D, który jest sumą n regularnych obszarów D!.....D_n, przy czym żadne dwa z tych obszarów nie

mają wspólnych punktów wewnętrznych, określamy równością:

JJf(x,y)dxdy = £ JjY(x,y)dxdy

D

TWIERDZENIE 1.1 (warunek konieczny całkowałności) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na regularnym obszarze D. to jest funkcją o-graniczoną na tym obszarze.

Stąd wynika, ic funkcja nieograniczona na obszarze D nic jest całkowalna nu lym obszar/e. Można jednak w tym przypadku mówić o calec podwójnej niewłaściwą. W tej książce temat ten pomijamy.

TWIERDZENIE 1.2 (warunki wystarczające całkowalności)

(1)    Jeżeli funkcja f jest ciągła na regularnym obszarze D, to jest całkowalna na tym obszarze.

(2)    Jeżeli funkcja f jest ograniczona na regularnym obszar/e D i jest ciągła na tym obszarze z wyjątkiem punktów lezących na skończonej liczbie wykresów funkcji postaci y = y(x) lub x = x(y), to f jest funkcją całkowalną na obs/arzc D.