Matematyka 2 5

174 Ul. Rat hunek całkowi funkcji wielu zmicnnyrh

174 Ul. Rat hunek całkowi funkcji wielu zmicnnyrh

Zatem

B = ffv²lxidxdv =*^{,x = rcoSig>}- ^y"^rsin*’ ^{J = r} l-

d_x jjy |*_tuxuy j_AłŁj_(r._0); Osr<;3 a 0<oS2a|J

D

2* 3

= JJr⁴ sin² <p |cos(p Idrdtp = J f Jr^-1 sin² <p |cos<p |dr]d<p =

n

o o

= 4^ jsm^:ip|costp|d(p =

243

3*/2

»/2    3*/2    2*

[ Jsin² y> cos<pd<p+ J-sin^: <j> cos(pd(p+ Jsin² <f> cos <pdq>]=

«/2

W

_243.1 2 1.

⁼—⁽3 ⁺ 3 ⁺ 3⁾⁼⁶⁴³*

Analogicznie obliczamy moment bezwładności B, względem osi Oy B_y = JJx²p(x.y)dxdy = JJx²|x|dxdy = 129,6.

i)

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1.    Obliczyć masę obszaru Ds {(x,y)eR^:: x^: + y^:<4y}, którego gęstość powierzchniowa jest równa p(x,y), jeśli:

a)p(x.y) = y, b)p(x,y) = x^:, c) p(x,y) = x^: +y². d) p(x,y)=|x|.

2.    Obliczyć masę obszaru D ograniczonego lukami parabol y = x^:. y³ = x, którego gęstość powierzchniowa jest równa p(x,y). jeśli:

a)p(x,y) = x. b)p(x.y) = y, c) p(x,yHx-y|, d) p(x,y)= yfx .

3.    Obliczyć momenty statyczne M, i M_> obszaru D z zadania 1 a) i b).

4.    Obliczyć współrzędne x,,y, środka ciężkości obszaru D z zadania 1 a) i b).

5.    Obliczyć momenty bezwładności B_v obszaru D z zadania I a).

_S. Przykłady zastosowania całki podwój nej w fizyce

; '-4+    4

zykiudy zagłosowania całki podvw\

175

^j >-

Jr

*.    y •    rT.

Odpon iedzi.

I a)m-X;t. b)tn=4it₍ c) m = 24n, d) m-32/3.    , _r

2. a) m-3/20, b) m = 3/20.

J Jx    i *    V*

c) m -1/30. m = Jl j|x - yidy]dx = |[ J( * - y )dy ♦ ji y- x)dy]dx . 0 k¹    0 x³    x

d) m = 3/l4.

3    ■) M.-20*. M,=0. b) M,»8x. M,=0.

4    a) (0^2). b) (0.2).

5    a) B,-56n, B_y ~Kn

6. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESK1EROWANA

ŁUK GŁADKI. Zbiór

K = {(x.y)€R^:: x = x(1)a y = y(t)A t€<a.p>} nazywamy krzywą płaską Równania (6.1)    x = x(t),    y=y(t). te<a,P>

nazywamy równaniami parametrycznymi tej krzywej

Ta sama krzywa może mieć różne równania parametryczne. Na

przykład- x = t. y= l, t e<0.l> oraz x = t^J, y = t\t e<0,l> są równaniami tego samego odcinka prostej y=x dla xe<0.l>.

Lukiem gładkim (regularnym) nazywamy krzywą K daną równaniami parametrycznymi (6.1), jeżeli

-    różnym wartościom parametru t €(a.fi) odpowiadają różne punkty (x,y) tej krzywej.

-    funkcje x(t), y(t) są klasy C‘ na przedziale <a,p>,

-    pochodne tych funkcji nic zerują się jednocześnie, tzn. (x'(t))²+(y^#(t))² >0 dla 16<a.p>.

Geometrycznie oznacza to. że łnk gładki mc ma punktów wielokrotnych i ma w każdym punkcie styczną zmieniającą się w sposób ciągły przy zmianie punktu styczności.