img027

ID. CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Niech 31 będzie funkcją wymierną zmiennej rzeczywistej x (zobacz definicję 1.1) w postaci:

(3.1)

w której stopień licznika n nie jest mniejszy od stopnia mianownika m (n > m). Wówczas, dzieląc wielomian W_a przez wielomian W_m możemy zapisać funkcję wymierną 31 w postaci równoważnej:

(3.2)

gdzie stopień wielomianu jest już silnie mniejszy od stopnia wielomianu W (l < m). Ponieważ całkowanie wielomianu (w naszym przypadku wielomianu lk _m) nie sprawia żadnych trudności, więc ze wzoru (3.2) wynika, iż ustalenie metod całkowania funkcji wymiernych można sprowadzić do podania procedury obliczania całek nieoznaczonych tylko z takich funkcji wymiernych, w których stopień licznika l jest silnie mniejszy od stopnia mianownika m(l < m). Powyższe spostrzeżenie odnotujmy w postaci następującej:

Uwaga 3.1

Jeśli mamy obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji wymiernej, w której stopień licznika nie jest mniejszy od stopnia mianownika, to w pierwszej kolejności należy wykonać dzielenie licznika przez mianownik, tj. wykonać dzielenie wielomianu przez wielomian.

Uwaga 3.2

Całkowanie funkcji wymiernych można ograniczyć do przypadku całkowania wyłącznic funkcji wymiernych, w których stopień licznika jest silnie mniejszy od stopnia mianownika.

Uwaga 33

Od tego momentu będziemy rozważać wyłącznie funkcje wymierne 31 w postaci:

(3.3)

w których l < m oraz ułamek jest nieskracalny, co oznacza, że nie istnieje wielomian Q_k stopnia k>0 taki, że Q_k * 0 i Q_k * 1, który byłby podzielnikiem zarówno wielomianu W_t jak i wielomianu W_m.

Załóżmy teraz, że funkcję wymierną (3.3) spełniającą założenia sformułowane w uwadze 3.3 można, zgodnie z twierdzeniem 1.1, przedstawić w postaci skończonej ilości ułamków prostych I. lub II. rodzaju (zobacz wzory (1.3) i (1.4)) lub jak mówimy krócej: rozłożyć na ułamki proste. Stąd wynika, że całkowanie funkcji wymiernych (3.3) sprowadza się do umiejętności całkowania ułamków prostych, które jak już wiemy, też są funkcjami wymiernymi, ale spe-q'alnej postaci.

27