img072

CAŁKOWANIE WYBRANYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

IVierdzenie 5.1

Niech 31 będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych rzeczywistych o współczynnikach rzeczywistych. Wówczas

1° jeśli 31 (sinx, cos x) jest funkcją nieparzystą ze względu na sin^{1 2},

to podstawienie t = cos² sprowadza całkę (5.1) do całki z funkcji wymiernej zmiennej f;

2° jeśli .5? (sin², cos²) jest funkcją nieparzystą ze względu na cos²,

to podstawienie t = sin ² sprowadza całkę (5.1) do całki z funkcji wymiernej zmiennej t;

3‘ jeśli ^(sin x, cos ²) jest funkcją nieparzystą równocześnie ze względu na sin ² i cos X, to podstawienie t = tg² sprowadza całkę (5.1) do całki z funkcji wymiernej zmiennej t.

Z twierdzenia 5.1 oraz z uwagi 5.1 i twierdzenia 2.3 wynika

Twierdzenie 5.2

Całkę (5.1) można zawsze sprowadzić do całki z funkcji wymiernej.

Twierdzenie 5.2 ma dużą wartość teoretyczną, ale jest mało praktyczne. Z dotychczasowych rozważań wynika bowiem, iż j&(sinx,cosx)dx=(cos²)-(cos²) £fa+J^²(sin²) (sin²) dx+J^ (tg²)-(tg²) dx:=I_t + I₂ (zobacz uwagi 5.1 i 5.2), całki zaś/,, I₂ oraz I₃ należy dalej liczyć, podstawiając odpowiednio t = cos², t = sin² oraz t = tg² (zobacz twierdzenie 5.1).

Z powyższego algorytmu wynika, że liczenie całek typu (5.1) wskazanym sposobem jest trudne rachunkowo. Zaproponujemy teraz inną — ogólną i uniwersalną — metodę liczenia całek

typu (5.1). W tym celu zauważmy najpierw, że jeśli t = tg^ = ę»_,(²) (-7T < ² < 7r), to

2te-

⁽⁵¹⁴> ^si"”7rfc-

21

-j-,COS² =-- =

1+r

i+<r

i-t² 1+r²

, ² = 2arctg t = ę(t), <p'(t) =

2

1+r²

i w rezultacie gdzie 31 „² jest funkcją wymierną zmiennej rzeczywistej t o współczynnikach rzeczywistych.

Stąd wynika

72

1

Twierdzenie 5.3

Każdą całkę typu (5.1) można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej przez podstawienie

2

= tg| (-²<²<²).