chądzyński8

130

6. FUNKCJE REGULARNE

6.7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Zadanie 1. Niech a G C i |a| ^ 1. Pokazać, że

(*)

dt

1 — 2a cos t + a²

f 27t/ (1 — a²) dla [ 2tt/ (a² — 1) dla

\a\ < 1, a > 1.

Rozwiązanie. Dla a — 0 wzór (*) zachodzi. Załóżmy dalej, że a ^ 0.

Sprowadzimy obliczenie całki po lewej stronie (*) do obliczenia pewnej całki krzywoliniowej. Niech C będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o opisie parametrycznym (0, 27t) 9 11—* e^lt. Zauważmy najpierw, że równanie z² — (a -I- z +1 = 0 ma dwa pierwiastki a i (1/a), które nie leżą na obrazie okręgu C. Stąd wynika, że istnieje całka

f    dz

Jc z² - (a 4- J) z + 1

Z określenia całki krzywoliniowej i funkcji cos dostajemy

(i)

i f    dz

« Jc z² - (a + J) 2 + 1

dt

1 — 2 a cos t Ą- a²

Rozważmy pierwszy przypadek, gdy a ^ 0 i Jer( < 1. Obliczmy z twierdzenia o residuach całkę po lewej strome (1). Mamy

dz

U + U ^{2 + 1}

~ * 27TŻ res_a a

(^a + i) ² + ¹

—27r a

^2z - (^a+i)

2tt

1 — a²

Stąd, w myśl (1), dostajemy (*) w tym przypadku.

Rozważmy teraz drugi przypadek, gdy jaj > 1. Wtedy

i f    dz    i    (    1    \    27T

a J_c z² - (a + J) z + 1 a ^1/a \^z² - (a + £) z 4- lj a² - 1

Stąd, w myśl (1), dostajemy (*) w tym przypadku.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech K — {z € <C : M < 1} i niech P : K —*■ C będzie gałęzią y/\ — z² daną wzorem P(z) = exp (| Log (1 — z²)). Pokazać,

i

i

i

131

6.7. CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

\że dla dowolnego a £ K

r

!(*)

dt

o (1 + a cos ty

= 2n/{P(a)f

!Rozwiązanie. Dla a — 0 wzór (*) zachodzi. Załóżmy dalej, że a £

K\{0}.

| Zauważmy, że dla dowolnego a t K \ {0} równanie z² + 2 (1/a) z + 1 = 0 ma dwa pierwiastki określone wzorami

■ (1)    ^zi {a) = (1/a) (-1 + P(a)), z₂ (a) = (1/a) (-1 - P (a)).

Pokażemy teraz, że

i(2)    \zi (a)| < 1 i \z₂(a)\>l.

!

|W tym celu zauważmy najpierw, że dla. dowolnego a € K \ {0} mamy ||zi (a)| / 1. Istotnie, w przeciwnym razie istniałoby aa £ K \ {0} takie, iże Z\ (ao) = e^lif dla pewnego <p £ (0,2tt). Wtedy z₂ (u-o) == oraz \^z\ (ao) + z₂ (^ao) = 2cosv? = —2 (l/a₀), co przeczyłoby temu, że ao £ K-^;W konsekwencji funkcja ciągła K \ {0} 3    \z₁ (a)j € M+ na zbiorze

ispójnym nie przyjmuje wartości 1. A ponieważ \z\ (1/2)| < 1, zatem i dla każdego a € K \ (0} zachodzi pierwsza nierówność w (2). Druga nierówność w (2) wynika ze wzorów Viete’a.

Podobnie jak w rozwiązaniu poprzedniego zadania, sprowadzimy Obliczenie całki po lewej stronie (*) do obliczenia pewnej całki krzy-iwoliniowej. Niech C będzie dodatnio zorientowanym okręgiem o opisie :parametrycznym (0,27t) 3 t e^li. W myśl (2) pierwiastki Zi(a) i z₂(a) nie leżą na okręgu C. Stąd wynika, że istnieje całka

i

zdz

02 ■

c (z² + 2 (1/a) z + 1)'

Z określenia całki krzywoliniowej i funkcji cos dostajemy ■.,n\    4 f    zdz    f²ⁿ dt

Ą /

Jc

c (z² + 2 (1/a) z + l)² Jo (l + acosf)‘

Obliczmy teraz z twierdzenia o residuach całkę po lewej stronie (3). Z (2) mamy

(4)

L

zdz

JL

ia² Jc [z² + 2{l/a)z + \)

2 j_a2    ^reSzi(u)

(z² -f 2 (1/a) z + 1)^J