chądzyński1

98 6. FUNKCJE REGULARNE

98 6. FUNKCJE REGULARNE

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 3. Pokazać, że jeśli funkcje f i g są meromorficzne w obszarze G, to funkcje fg i ffg {przy założeniu g ^ 0) są meromorficzne w G.

Rozwiązanie, Niech A, B będą odpowiednio zbiorami biegunów funkcji /, g. Wtedy funkcja fg jest-holomorficzna w G\(AUB), Zbiór AUB jest izolowany i domknięty w G. Dla każdego punktu c G A U B, w myśl zadania 5.3. l(b), funkcja fg jest meromorfiezna w punkcie c. Reasumując, funkcja fg jest meromorfiezna w G.

Jeśli g 0, to na mocy twierdzenia 1.34.2 funkcja 1/g jest mero-morficzna w G. Zatem, w myśl pierwszej części rozwiązania, funkcja fig jest meromorfiezna w G.

To kończy rozwiązanie.    □

6.2. Indeks punktu względem krzywej

Zadanie 1. Pokazać, że jeśli V jest krzywą regularną zamkniętą i f jest nigdzie nieznikającą funkcją holomorficzną na podkładzie krzywej V, to

Rozwiązanie. Niech 7 : (a, fi) —> C będzie opisem parametrycznym krzywej T. Wówczas, z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej (patrz zadanie 3.1.2), 7, : {a, fi) B t t-+ /(*y(*)) ^€ J^est opisem krzywej regularnej zamkniętej. Oznaczmy ją IV Krzywa Tj nie przechodzi przez punkt 0. Zatem, na mocy lematu 1.35.1, mamy

(1)

Z drugiej strony, z określenia całki krzywoliniowej, mamy

Z (1) i (2) dostajemy (*).

To kończy rozwiązanie.

□

Zadanie 2. Niech P C C będzie prostokątem, normalnym i dP jego dodatnio zorientowanym brzegiem. Pokazać, ze

indap(a) =

°)⁼ {o

dla a G Int P, dla a £ C \ P.

Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że a G Int P. Niech / będzie funkcją 'całkowitą tożsa.rnościowo równą 1. Wtedy dla a G Int P, na mocy wzoru całkowego Cauchy’ego dla prostokąta, mamy

1 f l

indap(a) = — /    -dz — 1.

2iJgp z — a

Załóżmy teraz, że a G C \ P. Wtedy punkt a leży w składowej nieograniczonej zbioru C \ \0P\. Zatem, na mocy własności 1.35.1,

ind_Sp(a) = 0.

□

To kończy rozwiązanie.

Zadanie 3. Niech p będzie liczbą dodatnią i niech C\ będzie lukiem okręgu o opisie parametrycznym (0,7r) 3 t i—► p exp it E C. Określmy ■krzywą zamkniętą Vi = [—p, p] 4- C\. Pokazać, że

(*)    indrjfa) = 1 dla a€Gi,

gdzie G\ := {z G C : \z\ < p i Im z > 0}.

Rozwiązanie. Niech a G G\. Rozważmy krzywą zamkniętą F₂ — [p, — p] 4- C*2, gdzie C₂ jest lukiem okręgu o opisie parametrycznym (t, 2n) 9 t w pexpit G C. Połóżmy f_a(z) = 1 /(z — a). Wówczas z własności 1.19.3 (c) i (d) dostajemy

f f_a(z)dzP [ fa(z)dz = dr i    Jr2

{/    + / + /    + f } fa(z)dz = f f_a(z)dz,

l d [—p,p]    4Ci d [p,—p]    d C*2 J    4(7

gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem o środku w punkcie 0 i promieniu równym p. Stąd i z określenia indeksu punktu względem krzywej dostajemy

ind_ri(a) 4- indp₂(a) = indc(u)