chądzyński6

126 6. FUNKCJE REGULARNE

To kończy rozwiązanie części (a).

(b). Rozwiążemy teraz drugą część zadania. Funkcja wymierna Q ma bieguny w punktach bi,... ,b_n € C \ IR+- Rozważmy w zbiorze C\ (R+U {6i,..., b_n}) funkcję / określoną wzorem f(z) = z^aQ (z). Jest to funkcja meromorficzna G = C \ R.+ i ma bieguny w punktach 61,..., 6_n £ G.

Niech dalej 0 < 5 < 7r i C_e (p) będzie lukiem okręgu o opisie parametrycznym (a, 27r — a) B pe^lt € C- Połóżmy (9) r = C_£ (R) + [ifer*, re-^i£] + (~C_e (r)) + [re^I£, Re^l£] , gdzie 0 < r < R. Krzywa V jest zamknięta, JF| C G' i dla dostatecznie małych e i r oraz dostatecznie dużego R wszystkie bi,... ,b_n leżą w składowej ograniczonej zbioru C \ |r|. Wówczas z zadania 6.2.5 mamy indr(fy) = 1 dla / = 1,..n. Stąd i z twierdzenia o residuach dostajemy

n

iz=l

(10)

Zauważmy najpierw, że dla p = r lub R łatwym rachunkiem dosta.-jemy

(11) lim [ z^aQ (z) dz — ip^a+1 lim f    _e(«+i)»^tQ(pe^ti)dt

Jc_£{o)    J.

Pokażemy teraz, że

(12)

Istotnie, z (1) dla r < r₀ dostajemy oszacowanie

Stąd, uwzględniając (*) i (11), dostajemy (12). Pokażemy teraz, że

Istotnie, z (2) dla R > Rq dostajemy oszacowanie

r?TT

< 2nDR^a+1+q.

ż/T⁺¹ /    e^(a+1*‘Q (Re*) dt

Jo

Stąd, uwzględniając (*) i (11), dostajemy (13). Pokażemy na koniec, że

(14) lim

o+

re^ie,Re^i€]

RQ (z) dz + f    z^aQ {z) dz

J    ,re ^—j

dx.

_fR

= (l — e^2ctni) J x^aQ(x)

Istotnie, przechodząc do całek zwyczajnych, mamy

f z^aQ (z) dz = eS^a+1)i€ [ t^aQ (e'^et) dt J \re'^c .Re^if\    Jr

[    z^aQ (z) dz = __e2«»v-^,"^+1>,e f t^aQ (e~*t)

J [l?e^_^^e,re~¹’^e]    Jr

Stąd, po przejściu do granicy przy e —>• 0⁺, dostajemy (14).

Przechodząc teraz w (10) do granicy z e —> 0⁺, r —► 0⁺ i R —* -Poo i korzystając z (9), (12), (13) i (14), dostajemy

(l - e^2am) / t^aQ (t.) dt — 2tt2 S2 res_6ł (z^aQ (z)),

•'o    1=1

co daje łatwo wzór na /(a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 3. Niech —1 < a < 3. Obliczyć całkę

oo

dx.

/(«)= f

./o

(1 + X²)²

Rozwiązanie. Załóżmy najpierw, że a ^ 0,1,2. Wtedy całkę / (a) możemy policzyć korzystając z zadania 2. Funkcja wymierna Q (z) — 1/ (1 4- z'²) ma współczynniki rzeczywiste i bieguny w punktach i, —i. Ponadto ordoQ — 0 i deg<Q = —4, czyli spełnione są warunki (*) z