chądzyński6

106 6. FUNKCJE REGULARNE

Stąd

⁽³⁾    t^_rhL^fi{z)dz~ⁿP^es<kfu

⁽⁴⁾    £}~¹)hw)⁼ U_ai^Mz)dz~ⁿE^Tes<kh'

Z zadania 3.2.10 mamy

lim [ fi(z)dz — lim [ f₂(z)dz — 0.

n~*+oc J_dJn    n^+oo J_QIn

Stąd, przechodząc we wzorach (3) i (4) do granicy przy n —> +oo, dostajemy (*) i (**).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Pokazać, ze

1 / 1 1\

(*)    7rctg7TZ— — + Ys f -^ +    ^ ^e ^ \

h — — OD '    ^/

gdzie Yj⁷ oznacza, ze przy sumowaniu opuszczono wyraz o wskaźniku równym 0.

Rozuńązanie. Niech P{Q = —1, Q(C) = Q — z i /(C) = (— ctg7r£)/(£ — z). Wielomian Q ma jedno zero jednokrotne w punkcie z £ C \ Z. Na mocy zadania 1

(i)

lim > —~— = -7rTes_zf.

n-*+oo    z — K

k = — Ti

Obliczmy najpierw residuum po prawej strome (1). W myśl zadania 6.3.4 mamy ¹

1

k k

Stąd dostajemy

(3) lim V ■ - = - + lim Y, f—~T + 7 V

k~—n

Ponieważ szeregi

+oo

n—+oo    z — k Z    n—>+oo —* \ 2 — k K }

'— —    k——n

gfchń) • gfch-9

+oo ( z — k k )    i z — A; k

są bezwzględnie zbieżne, to

n

(4)    lim Y

"i—»4-r>o

k= — 7

Z (3) i (4) dostajemy

+ r) = E'

k— — oo

(5)

Hm    f ^JLI=^l+ E' (—~r +    ! •

7«—>+oo    ^J z — k z    *—⁴ \z — k k

k=—n    k——oo

□

Z (1), (2) i (5) dostajemy (*). To kończy rozwiązanie.

Zadanie 3. Pokazać, ze

+oo

■(*)

+oo    ..    2

Y    jj-rr = P-,- dla € C \ Z.

/r=—c

(k + a)¹ sm~ 7tg

:Rozwiązanie. Niech P(z) = 1, Q(z) — (z + a)¹ i /(z) = ctg 772—^2-Wielomian Q ma jedno zero dwukrotne w punkcie —a € C \ Z. Na mocy zadania 1

ⁿ ^    2

(1)    lim V 7-—— = -7rres__u/,

«—+00    ' (fc + aj"

k~~n    '

Obliczmy najpierw residuum po prawej stronie (1). Fundacja / ma w punkcie —a € C \ Z biegun dwukrotny. Zatem z zadania 6.3.2 imamy ^{2 3}

1

   res. f = ~ ctg irz.

Zbadajmy teraz granicę po lewej stronie (1). Łatwo zauważyć, że

1

2

   res-_af = lim_z_>.__a [(z + a)'¹f(z)Y = lim_z^__a(ctg nz)' — ,    •

3

sm ?ra