chądzyński7

108 6. FUNKCJE REGULARNE

Zbadajmy teraz granicę po lewej stronie (1). Ponieważ szeregi

+oo

E

1

i

+oo    -

y"—-

< ^J (— k4-

^ ^k+a

są bezwzględnie zbieżne, to

n    +oo    -

(3)

lim

>—v 4- r*~i « J

- E

t?.—>+oo *■—* (k + a)

k=—n ^s    n=—co

(n + a)<

Z (1), (2) i (3) dostajemy (*). To kończy rozwiązanie.

□

Zadanie 4. Pokazać, ze

(*)

^ k² ~ 6 '

/c-i

Rozwiązanie. Szereg w (*) jest bezwzględnie zbieżny. Zatem 1

+oo ₁    +oo

Ep = E

fc=l    fc

+CO    ..    +oo    -    ₁ +0O ₁

v^< I    v'    1    1 V~"^H' t

J(2fc + D² '    +

+

Stąd

(1)

^ 1 _ 4^    1

^ k²~ 3 ^ (2& + l)²"

fc=l    fc=o ^v    7

Rozwiązanie zadania sprowadza się zatem do obliczenia sumy szeregu po prawej stronie (1). Z zadania 3, kładąc a — 1/2, dostajemy :

+oo

(2)    E

1

7T

,    (2k + l)²    4    j

k^—oo ^v    .

Z drugiej strony, z bezwzględnej zbieżności szeregu po lewej stronie (2) mamy

+oo    ^    4-oo    j    +oo    j

E ToFTW = E m ^ 1I2 ⁺ E (-2k-

k~—x>

(2 k + l)²

f₀(2k + iy ^(-2fc + i )² £ (2fc+ l)^{2 +} £ (2fc + l)² “

fc=c +00

-f OO

A:=0

fc=0

k=Q

(2 k + l)²

Stąd i z (2) dostajemy

(3)

+oo

E

1

(2k +1)²

n

Z (1) i (3) otrzymujemy wzór (*). To kończy rozwiązanie.

Zadanie 5. Pokazać, że dla a € C \ Z marny (*)

Rozwiązanie. Niech P(z) = l,Q(z) — z² —a? i f(z) = (ctgirz)/(z² a²). Wielomian Q ma dwa zera jednokrotne Ci ^{= a} i C2 — ~^a-Na mocy z ad arna 1

0)

5ŁEii75-^,E“t/-

n—>4-00    fo² — O

k=—n

k=1

Obliczmy najpierw sumę po prawej stronie (1). W myśl zadania 6.3.4 mamy

res_Cl / -

ctg 7rC_t

2Cz

dla Z = 1, 2.

Stąd

(2)

2

Er

^Ies<k f =

ctg 7ra ctg7r(~a) __ ctg na

T

2a    2(—a)    o

Zbadajmy teraz granicę po lewej stronie (1). Ponieważ szeregi

+00    ^    +00

fe² — a²

k—1

+00    ₁    +00    ..

El    , r—'    I

U2 _ „2 ¹ Zj    “2

fc=0

są bezwzględnie zbieżne, to

n    -    ₁    4-00    ₁

lim

Tl—»+00

v -J—= -i+2y'—1

■ ^J k² — a² u²    A;² —

k——n    k—1

(3)