chądzyński1

32 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Niech teraz v / 0. Wówczas z (2) i różnowartościowości funkcji exp|_R wynika, że \z_k\ ^ \zi\ dla kj-l. Zatem zbiór {j-Z/tlHez jest nieskończony. Ponadto z (1) i (2) dostajemy

linu-^-oo \z_k\ = 0 i lim_fc_₊₀₀ \z_k\ = +oo dla v < 0, lim^-ookfcl — +oo i lim*_+oo \^zk\ — 0 dla v > 0.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 12. Pokazać; ze wszystkie wartości potęgi a^c,a G C^x mają:

(a)    ten sam argument główny dokładnie wtedy, gdy Re c G Z₇

(b)    skończoną ilość argumentów głównych dokładnie wtedy, gdy Re c G Q.

Rozwiązanie. Połóżmy z_k = exp c(Log a A 2/ctt?'), k G Z. Wówczas, analogicznie jak w zadaniu 11,

(1)    a^c = {z_k : k G Z}

Dla dowolnych kj G Z z własności I.ll.l(g) mamy 2n(k — 1) Rec G arg zk/zi i z zadania 1.1.4 Arg z_k - Arg z_{ G argz_fc/2/. Stąd

(2)    V_kii_ez3_ne_Z2ir(k - l) Re c = Arg 2:* - Arg z, T 27rn.

(a) . Jeśli wszystkie wartości potęgi a^c mają ten sam argument główny, to z (1) oraz z (2) dla 1 = 0 i k = 1 dostajemy Rec = n dla pewnego n G Z.

Odwrotnie, jeśli Rec G Z, wówczas dla dowolnych kj G Z z (2) i z oczywistej nierówności — 27T < Arg z_k ~ Arg Z[ < 2ir dostajemy Arg z_k — Arg zi. Stąd i z (1) wszystkie wartości potęgi a^c mają ten sarn argument główny.

(b) . Załóżmy, że wszystkie wartości potęgi a^c mają q różnych

argumentów głównych. Zatem w zbiorze {0,    istnieją dwie

liczby l < k takie, że Arg z_k — Arg zi = 0. Stąd i z (2) istnieje n G Z takie, że Re c. = nj(k — l) G Q.

Odwrotnie, niech Rec — p/q.p G Z, q G N₀, gdzie ułamek p/q jest nieskracalny. Wówczas łatwo zauważyć, że wszystkie liczby z_k dla k G {0...q — 1} mają różne argumenty główne. Istotnie, gdyby przeciwnie Arg z_k — Arg Zi dla kj G (0,..., q ~ 1}N < k, to w myśl (2) istniałoby n G Z takie, że Rec = nj(k — l), gdzie 0 < k — / < q, co przeczy temu, że ułamek p/q jest nieskracalny.

Pokażemy teraz, że wszystkie wartości potęgi a^c mają q różnych argumentów głównych. Istotnie, niech Z = ĄU--^,UA_?_i, Aj = {r G

2.5. GAŁĄŹ ARGUMENTU, LOGARYTMU I POTĘGI    33

% : r = lq + j, l G Z}, j G {0,..q — 1}. Zbiory Aj są rozłączne i dla każdego r € Aj na mocy (2) istnieją n,l G Z, że

(3)    Arg Zr — Arg z₃ — 2irn — 2tt (r — j) Re c =

27rn — 2n(lq + j - j)(p/q) = 2ir(rc — Ip).

Z (3) dostajemy Arg z_r = Arg zj.

To kończy rozwiązanie.    □

2.5. Gałąź argumentu, logarytmu i potęgi

Zadanie 1. Niech X C C będzie zbiorem spójnym i Y C C -zbiorem co najwyżej przeliczalnym. Pokazać, że każda funkcja ciągła f : X —► Y jest stała.

Rozwiązanie. Funkcja / jako ciągła odwzorowuje zbiór X na zbiór spójny. Na mocy zadania 1.4.2(ii) zbiór f(X) jest albo jednopunk-towy. albo co najmniej mocy continuum. Ponieważ f(X) C Y, więc f{X) jest zbiorem jednopunktowym. W konsekwencji istnieje c G Y takie, źe dla dowolnego z G X marny f(z) = c.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech G_a będzie obszarem, jaki powstaje z płaszczyzny C przez usunięcie punktu 0 i punktów o argumencie głównym a. Pokazać, że funkcje A_a : G_a —> R, L_a : G_a —► C, określone wzorami

(*)    A_a(z) = Arg [z exp(7r - a)'/] - {tt - a),

(**)    L_a(z) = Log [zexp(7r — a)*] — (ir — a)i,

są odpowiednio gałęziami argumentu, logarytmu funkcji tożsamościowej na zbiorze G_a.

Rozwiązanie, Z zadania 1.1.4(ii) dla z € C^x mamy

(1)    arg [z exp(7r — a)i] — arg [exp(7r — a)ż] — arg z.

Z (1) i z określenia funkcji A_n dostajemy

(2)    expxA_a(z) — cxpf Arg 2 = zj\z\ dla z G G_a.

Zauważmy, że

(3)    zexp(7r — a)i £ G_n dla z G G_a