chądzyński
1

12 2. FUNKCJE ZESPOLONE

Zadanie 5. Niech S C C będzie obszarem jednospójnym. Pokazać, ze istnieje ciąg {ShjneN spełniający następujące warunki:

(a)    S_n są obszarami jedno spójnymi,

(b)    S — UneN S-n,

(c)    S_n >5n+lj

(d)    każdy podzbiór zwarty K C S jest zawarty w pewnym zbiorze

S_n. ‘

Rozwiązanie. Niech    będzie ciągiem określonym w zadaniu

4 dla G = S. Wówczas, w myśl założenia i zadania 4(f), wszystkie zbiory G_n nie rozcinają płaszczyzny. Weźmy dowolny punkt a G G\

1    dla dowolnego n G N oznaczmy przez S_n składową zbioru G_n zawierającą punkt a. W myśl własności 1.6.3 wszystkie zbiory S_n są obszarami jednospójnymi. Oczy w-iście (a) i (c) zachodzą. Wystarczy zatem pokazać (b), bo (d) jest prostą konsekwencją (b).

(b). Oczywiście S D UneN Pokażemy, że S C UneN^* Niech z G S będzie dowolnym punktem, a L łamaną łączącą punkty a i z leżącą w S. Niech p*(L, C \ S) będzie odległością zbiorów L, C \ S w metryce sferycznej. Ponieważ zbiory te są rozłączne i zwarte, to p*(L,C\S) > 0. Jeśli n > 1 /p*(L,C\S), to dla każdego w G L mamy p(w) > p*(L, C \ S) > 1 jn. Zatem L c G_n dla n > l/p*(Ł, C \ S). Stąd i ze spójności łamanaej L, dostajemy L C S_n. Reasumując,

²    € U_i6N

To kończy rozwiązanie.    □

2.2. Warunki Cauchy’ego-Riemanna

Zacznijmy od oznaczeń i pojęć, których będziemy używać w zadaniach tego podrozdziału.

Niech / będzie funkcją określoną w otoczeniu Q punktu a G €. Przez f'(a) oznaczamy pochodną zespoloną w punkcie a.

Niech u{x,y) := Re /(z), v(x, y) Im f(z) dla 2 — x + iy G Sb W prowadźmy ozn aczenia f'_x(a)    n'_x(a, fi) iv'_x(c±, /3), f'_y (a) :—

u'_y(a, (3) + iVy{a, p), gdzie u’_x, v'_x, u'_y, v'_y są pochodnymi cząstkowymi w dziedzinie rzeczywistej i a = Re a, P = Ima. Przy tych oznaczeniach w^rarunki Cauchy’ego-Riemarma w punkcie a zapisujemy jednym wzorem

/» = a /*)/»•

Niech O₀ •= {h € C : a + h € 0} i niech hi = Reh, ń₂ = Im h. Mówimy, że funkcja f jest R - różniczko walu a w punkcie a, gdy istnieją stałe A_iz A2 G C i funkcja oj : Q₀ —> C ciągła w punkcie 0, to(0) = 0 takie, że

f(a + h) = f (a) + Aihi + A₂h₂ + co(ń)[ń|, h e Sio-

Odwzorowanie R-liniowe h i—> Aihi -f A₂h₂ nazywamy R-rćźniczką funkcji f w punkcie a.

Zadanie 1. Pokazać, że jeśli funkcja f ma pochodną f'(a). to jest ona R-różniczkowalna w punkcie a i spełnia warunki /'(a) — (1 /i)f'(a) — /'(«)•

Rozwiązanie. Z lematu I.9.1wynika, że istnieje funkcja oj : £7o —*■ C ciągła w punkcie 0, w(0) = 0 i taka, że

(1)    f(a + h) — f(a) + f{a)h + u(h)\h\, h e fi₀.

Połóżmy h] = Reh,h₂ = Imh. Wtedy z (1) dostajemy

/(a + h) — f(a) + f{a)hi if'(a)h₂ + u(h)\h\, h £ O₀.

Czyli f_x(a)hi + if_y{a)h₂ jest R-różniczką funkcji / w punkcie a. Zatem z twierdzenia o R-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy fx(^a) = /'(<*) i fy(^a) = «/»■ Stąd f_x(a) = (1 /i)f_y{a) = f(a).

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Pokazać, że jeśli funkcja, f jest IR - różniczko walna w punkcie a i spełnia warunek f'_x(a) — (1 fi)f'_y(a), to ma ona pochodną f'(a) = f'(a).

Rozwiązanie. Z określenia R-różniczkowalności funkcji / w punkcie a wynika, że istnieją stałe A\, A₂ € C i funkcja oj : Q₀ —»■ C ciągła w punkcie 0, w(0) = 0 takie, że

(1) f(a + h) — /(a) + A\h\ A₂h₂ + cn(h)jh|, h € Qo,

gdzie hi = Re h, h₂ = Im h. Z twierdzenia o R-różniczce (patrz [Bi], twierdzenie 1.6.2) mamy Ai = f_x(a) i A₂ = Ą(a). Stąd i z drugiego założenia wynika, że A\ — {lji)A₂. Zatem z (1) dostajemy

f(a + h) = /(a) + Aih + co(/i)jń[₅ h e O₀.

Z lematu 1.9.1 wynika, że istnieje pochodna f(a) = Aj.

□

To kończy rozwiązanie.