chądzyński0

ROZDZIAŁ 6

Funkcje regularne

6.1. Twierdzenie o identyczności

Zadanie 1. Niech G C C będzie zbiorem otwartym i niech A C G. Pokazać, że równoważne są dwa warunki:

(i)    A jest zbiorem izolowanym i domkniętym w G,

(ii)    dla każdego punktu a £ G istnieje sąsiedztwo fi_a lego punktu takie, że C G\ A.

Rozwiązanie. (i)=>(ii). Weźmy najpierw dowolny punkt, a £ A. Ponieważ A jest zbiorem izolowanym w G, to istnieje otoczenie tego punktu U_a C G takie, że U_a fi A = {a}. Niech fi_a = U_a \ {o}, wtedy jest sąsiedztwem punktu a i fl_a C G \ A.

Weźmy teraz dowolny punkt a £ G \ A. Ponieważ G \ A jest zbiorem otwartym w G, istnieje otoczenie tego punktu U_a C G \ {a}. Niech fl_a — U_a \ {a}, wtedy jest sąsiedztwem punktu a i Q_a C

G\A.

(ii)=^(i). Weźmy najpierw dowolny punkt a £ A. Wtedy istnieje sąsiedztwo tego punktu takie, że Q_a C G\ A. Kładąc U_a — D_aU{a}, dostajemy U_a O A = {a}. Zatem A jest zbiorem izolowanym w G.

Ponadto z (ii) wynika również, że zbiór A nie ma punktów skupienia w G, czyli jest domknięty w G.

To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Niech f będzie funkcją holomorficzną w obszarze G. Pokazać, że jeśli Re/ jest stała w pewnym niepustym otwartym podzbiorze zbioru G, to f jest stała w G.

Rozwiązanie. Niech O C G będzie podobszarem zbioru G, w którym Re/ jest stała. Wówczas, na mocy zadania 4.1.2, istnieje taka liczba ceC, że f(z) — c dla z £ fi. Wybierzmy ciąg punktów z fi mający punkt skupienia z₀ £ fi. Wówczas, w myśl twierdzenia 1.34.1, funkcja holomorficzna / — c jest tożsamościowo równa zeru w G.

97