2659241291

19

Definicja 5.4 Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r, k dowolną liczbą naturalną, f:G—> R dowolną funkcją.

Mówimy, że funkcja f jest klasy C'*' na zbiorze G (zapisujemy f € C^(G)) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej pochodne cząstkowe do rzędu k włącznie są określone i ciągle na tym zbiorze.

Mówimy, że funkcja f jest klasy C*⁰⁰* na zbiorze G (zapisujemy f € C^°°\G)) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej pochodne cząstkowe dowolnego rzędu są określone i ciągle na tym zbiorze tzn

C<“>(G) = f|

Uwaga 5.9 W przypadku funkcji z C^(G) otrzymujemy równość ich pochodnych mieszanych.

Wniosek 5.3 (Schwarza) Niech G będzie zbiorem otwartym w £^r, k dowolną liczbą naturalną, f: G —» R dowolną funkcją.

Jeżeli funkcja f jest klasy G^ na zbiorze G, to wartości jej pochodnych cząstkowych _dr ⁹ nie zależą o porządku różniczkowania.

Funkcje jednorodne

Definicja 5.5 Niech G = R^r bądź G = W \ {0} i /: G —* R będzie dowolną funkcją, p liczba całkowitą nieujemną.

Mówimy, że f jest funkcja jednorodną stopnia p wtedy i tylko wtedy, gdy

V_t€RV_xeG/(«x) = f^p/(x).    (5.1)

Jeżeli warunek (5.1) jest prawdziwy tylko dla liczb dodatnich t, to mówimy, że f jest dodatni jednorodna stopnia p.

Twierdzenie 5.4 (Eulera) Niech G = R' bądź G = R^r \ {0} i f: G —• R będzie dowolną funkcją, p liczba całkowitą nieujemną.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na G i jest funkcja dodatni jednorodną stopnia p,

Vx€GP/(x) = i>i|£(x).