3298122862

Definicja 1.4.2 (Dopełnienie zbioru zależności funkcyjnych). Niech F C {X Y : X,Y (Z U} będzie zbiorem zależności funkcyjnych. Przez F⁺ oznaczamy najmniejszy zbiór zależności fukncyjnych, który zawiera F oraz jest zamknięty na aksjomaty Armstronga:

(FI) Y C X => X —► T G F⁺ (pseudozwrotność)

(F2) A —> T G F⁺ =► XZ —>YZeF⁺ (poszerzalność)

(F3) I ^ 7 6 F⁺ A Y -> Z G F+ =*> A ^ Z G F+ (przechodniość)

Twierdzenie 1.4.1. Układ aksjomatów Armstronga jest niesprzeczny oraz zupełny.

Wniosek 1.4.2. Można wyprowadzić z aksjomatów Armstronga następujące zależności:

(F4) A -» T G F+ A YW -*• A e F⁺ => A W -> Z G F+ (pseudoprze-chodniość)

(F5) A ^ T G F+ A A ^ Z G F+ ==► A ^ TZ G F+ (addytywność) (F6) A ^ TZ G F+ =► A^yeF⁺ A A —> Z G F⁺ (dekompozycyj-ność)

Komód. (F4) X^F6F⁺⁽f -> FVF 6 F+ oraz -> Z e F⁺ (z założenia). Stąd z (F3) A W —► Z € F⁺.

(F5) Z poszerzalności mamy AA = A —» AA G F⁺ oraz AT —> ZT G F⁺. Stąd na podstawie (F3) A —> TZ G F⁺.

(F6) Ze zwrotności mamy TZ —> T e F⁺ oraz Z-»Zg F⁺. Skoro A —» TZ G F⁺ to z przechodniości otrzymujemy A —> T G F⁺ oraz A —> Z G F+.    □

Definicja 1.4.3 (Minimalny generator zależności funkcyjnych). Niech F₀ C F będzie takim podzbiorem, że Fq = F⁺. Wówczas najmniejszy zbiór Fo nazywamy minimalnym generatorem zależności funkcyjnych w F.

Jeżeli Fq jest minimalnym generatorem z lewymi stronami zależności funkcyjnych o mocy 1 to nazywamy go minimalnym zredukowanym generatorem zależności funkcyjnych w F.

Definicja 1.4.4 (Domknięcie zbioru atrybutów). Niech A C U. Domknięciem zbioru atrybutów A nazywamy zbiór

A ⁺ = {AcU: X^AeF⁺}

Wniosek 1.4.3. 1) A C A⁺ (wynika z FI)

2)    (A+)+ = A+

3)    A C T => A+ C T+

4