str032

70

169. Niech P będzie zbiorem, a / funkcją określoną w rozwiązaniu zadania 166. Niech h(jj) = f~^l(x) (/jest funkcją ściśle rosnącą). Połóżmy

dla x 6 P, dla x £ [0,1] - P.

Następnie definiujemy funkcję

dla z £[0,1],

dla x £ P + 1,

dla x £ ([0,1] - P) + l.

Dla dowolnego a £ !R zbiór y^-1((-co, a]) można przedstawić jako wynik skończo-

nej liczW działań mnogościowych na zbiorze P i przeliczalnej liczby przedziałów. Funkcja g jest więc funkcją mierzalną.

Rozważmy zbiór borelowski B = [0,1]. Wtedy B = P U ([0,1] - P), a więc g(B) =ji(P) U y(([0,1] ~P)) = Q U (([0,1] - Q) + 1). Jeżeli zbiór g(B) jest mierzalny, to mierzalny jest zbiór g{B) - [1,2] = /i(P) - {1], co jest sprzecznością. Zatem zbiór ij(B) nie jest mierzalny.

170.    Funkcja g zdefiniowana w zadaniu 169 jest różnowartościowa i mierzalna. Istnieje funkcja odwrotna g~^x. Z równości y([0,1]) = (g~^x )^_ł([0,1]) wynika, że funkcja g~^l nie jest mierzalna, ponieważ zbiór ff([0,1]) nie jest mierzalny (patrz rozwiązanie zadania 169).

171.    Niech / = y^-1 (patrz rozwiązanie zadania 170). Niech A = [0,1], wówczas Z"¹ (A) jest zbiorem niemierzalnym. Zauważmy, że funkcja / ma tę własność, że jeżeli Sjest dowolnym zbiorem borelowskim, to f[B) jest zbiorem mierzalnym. Istotnie,, funkcja g jest mierzalna, więc na podstawie zadania 161, /(B) = g~^l(B) jest zbiorem mierzal-nym.

172.    Zauważmy, że lim„-.oo XeA^x) = Y_£(^x) dla dowolnego x £ A' wtedy i tylko •

wtedy, gdy

X = [( lim E„) n E) U [( lim [X - E_n)) n A' - E]

= [( hm E_n) n E] U [A' - (Bu lim E„)].

n—cc,

Równość ta jest równoważna równości lim„_cs, E„ = E.

173. Niech .4 = {i £ A' : \_e„(*) -*• \_e(x)}. Zauważmy, że A = ((lim„_co E_n) n

Powyższa równość jest równoważna równości E O lim_rl .. E_n = B U TTin,,—E_n.

. (A* - £)) U [(Hm_n_co(A’ - E_n)) n B] = Imi,_l__0O(E,, - B) U (B - Um^ B„). Z równości tej wynika, że /r( A) - 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

/r{( lim E„) A B} = p{( Jim B„) A E] = 0.

ⁿ“"^C0    II—.PO

A. zatem    —. \_B (prawie wszędzie) wtedy i tylko wtedy, gdy E„ — B (prawie

wszędzie).

174. Warunek — \_€ jest równoważny warunkowi limn_M \eU')l ^ f}) = 0 dla dowolnego cr > 0. Zauważmy, że

dla 0 < a < 1, dla a > 1.

{•c ^; Ke.U) ~ X_e(i)| > o-} = | y” ^A E

Zatem warunek \_Bn — \_B jest równoważny warunkowi lim„_oa/r(£„ A E) = 0,

(i

czyli warunkowi E_n — E.

175. Z założenia, że .4 jest atomem wynika, że jeżeli fi{x £ .4 : /(*) = +00} > 0, to 6 -4 : f(x) = +00} = n(A). Zatem funkcja / jest prawie wszędzie stała na .4. Można więc założyć, że [i{x € .4 : /(*) = £00} = 0. Niech A_c = {x £ .4 : f(x) > e}, B_c = {r £ .4 : f(x) < c}. Jeżeli dla dowolnego c £ IR, //(.4_e) = 0, to /(.c) = -co wbrew założeniu. Zatem istnieje liczba e{ £ IR taka, że n(A_c 1) = /i(.4). Analogicznie istnieje liczba c\ taka, że n(B_c 1) = /r(.4). A zatem /r{x £ A : ej < Cj} = fi(A). Niech ci = ^c‘Wtedy

Ki^x e .4 : c{ < f(x) < Ci}) = n(A), n{x € .4 : ci < /(a-) < c^}) = /r(.4).

Ten z przedziałów [c|,ci], [ci,ci], który ma powyższą własność nazywamy [c^,cj]. Poslępując analogicznie tworzymy zstępujący ciąg przedziałów [cj,c',‘] taki, że lim_n—oi(c3 - c?) = 0 i ii({x € A :    <-&x) <j c?}) = p(.4).

Niech b = lim„__M cj. Mamy

P({* £ -4 : f(x) = b}) = p( ff{x 6 <4 : e? < /(*) < c?})

n=l

= lim fs{{x G A : c" < /(o;) < c"}) = /((/i).

M—CO

A więc /(.r) = b prawie wszędzie na .4.

17G. Z zadania 175 wynika, że istnieje zbiór B C A taki, że \i(A - B) = 0 i funkcje / oraz /„ dla n £ N są stale na zbiorze B. Niech c = f(x), c„ = f_n(^x) dla x £ B. Z założenia mamy, że dla dowolnego £ > 0 istnieje taka liczba naturalna no, że dla dowolnej liczby naturalnej n > no zachodzi

1 v({x ■ 1/nU^-) -/(*)!> f}) < m(£).

A zatem istnieje *0 £ B takie, że

I/f.(*o)-/(*o)| < f

r

dla n > n«, ale wówczas |c„ - c| < £ dla n > n_n, więc |/„(ar) - /(x)| < £ dla 11 > n₀ i x £ B. Stąd wynika, że /„ — f prawie wszędzie na .4.

177. Załóżmy, że p jest miarą skończoną czysto atomową. Zatem X = (J^i A',-, gdzie x/ są atomami. Aby wykazać b), wystarczy skorzystać z zadania 176. Załóżmy