86794

Niech X będzie zbiorem niepustym. Metryką (lub odległością) w zbiorze X nazywamy każdą funkcje dwuargunientową d'. X X X —> Rspetniającą następujące trzy warunki (aksjomaty metryki) dla wszystkich*¹! b,c £ X. d(a,b) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy a = b,

<l(a. b) —    ^a)(_warutiek _Symetni)

d(a, 6) ^ d{a, c) + d(c, b\warunek trójkąta).

Jeśli djest medyką na zbiorze Xto parę (X.d) nazywamy przestrzenią metryczną¹¹¹.

Uwagi [edytuj]

Należy zwrócić uwagę, że niektórzy autorzy dodają warunek, że metryka przyjmuje wartości nieujemne. Wynika on jednak z aksjomatów sformułowanych powyżej:

0 = tf(a, a) ^ d(a, b) + d(b, a) — 2d(b, a) a zatem d(a,b) ^ 0

Przestrzeń metryczną należy rozumieć jako uogólnienie przestrzeni euklidcsowych (prostej, płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej). Metryki można określać nie tylko na przestrzeniach euklidesowych, ale również na innych zbiorach (na pr zykład na zbiorze słów lub funkcji) lub na bardzo abstrakcyjnych przestrzeniach.

Funkcja odległości (medyka) indukuje w przestrzeni metrycznej topologię (której bazą jest rodzina kul otwartych). W tym sensie przesdzenie medyczne stanowią ważną klasę przestrzeni topologicznych. W analizie matematycznej często topologia rozpatrywanej przestrzeni (euklidesowej lub pewnej powierzchni) stanowi jej najważniejszy aspekt dla danego rozważania (podczas gdy dla innych rozważań w analizie istodie są subtelniejsze własności).

Każda przestrzeń unonnowana (t*i II ' II )jest także przesdzenią metryczną z odległością

zdefiniowaną pizez:

d(x,y) = ||s -y||, x,y€V

INNE TEORIE

Normą w przestrzeni liniowej V nad ciałem € {Q, R, C}nazywamy odwzorowanie || • ||. V ► [0, 00 )_Sp_elniąją_Ce, dla dowolnych Ct € K oraz ^3^v ^ ^.następujące warunki:

IMI > ojHl =0 <(=)• v = 0 IM = NIK

2