10. Całkowanie form zewnętrznych

Dowód. Niech D będzie zbiorem parametrów dla $(a więc także dla Tf) i zdefiniujmy A jak w twierdzeniu 10.24. Stosując to twierdzenie do cu_ri otrzymamy

Ja)_r =s

♦ i A

Stosując je do o i T#, otrzymamy

J « -

Ale na mocy twierdzenia 10.23 (o)_r)# = co_T^. To kończy dowód.

Sympleksy i łańcuchy

10.26. Sympleksy afiniczne. Odwzorowanie / przeprowadzające przestrzeń wektorową X w przestrzeń wektorową Y nazywamy ąfinicznym, jeżeli f—f(0) jest odwzorowaniem liniowym. Inaczej mówiąc f ma postać

(73) ' -    f(x) - f(0)+Ax dla pewnego A e L(X, Y).

Widać stąd, że przekształcenie afiniczne z R^k do R" jest wyznaczone, jeżeli znamy f(0j oraz f(e,) dla 1 < i < k. Jak zwykle {ei,..., ej jest tu bazą standardową R\

- zdefiniujemy sympleks standardowy (£ jako zbiór wszystkich u e R* postaci

k    k

(74)    u=    (a, > 0 dla i = 1,..., k oraz £a₍ < 1).

i=i    i

Jeśli po, Pi,.... Pt są punktami przestrzeni R", to zorientowanym k-sympleksem ąfinicznym

(75)    a — [p₀« Pi> P*3

nazywamy fc-powierzchnię w R" o zbiorze parametrów (t daną za pomocą odwzorowania, afinicznego

| k

(76)    <x(«,e₁+...+a_ke_k)= Po+Eot^-po).

Zauważmy, że odwzorowanie o jest scharakteryzowane przez warunki

(77)    <x(0) = po,    a(e.) = p, (dla 1 < i < k)

oraz że

(78)    tr(u)*Po+^«    («e &),

gdzie A e L{IĆ, R") oraz Ae_t = pj-p₀ dla 1 < i < k.