8 (15)

141

Twierdzenie Stone’a-Weierstrassa

Dowód. Niech s/_R będzie zbiorem wszystkich funkcji rzeczywistych należących do s3. Jeżeli fe sś \f— u+ vi, gdzie u i v są funkcjami rzeczywistymi, to 2n = /+/, a ponieważ algebra .e/jest samosprzężna, więc w e    Jeżeli x_t =£ x₂,to istnieje/e .s/ taka, że/^) = l;/(x₂) = 0;

zatem 0 = w(x₂)    m(X]) = 1, skąd wynika, że s/_R rozdziela punkty zbioru K. Jeżeli x e K, to

g (x) # 0 przy pewnym ges/i istnieje liczba zespolona A taka, że A#(x) > 0. Jeżeli przyjmiemy / = Xg,f = u+vi, to «(x) > 0; zatem s/_R nie znika w żadnym punkcie zbioru K..

Wobec tego s/_R spełnia wszystkie założenia twierdzenia 7.32. Zatem do jednostajnego domknięcia algebry s/_R należą wszystkie funkcje rzeczywiste ciągłe na K, a stąd także Si zawiera wszystkie funkcje rzeczywiste ciągłe na K. Jeżeli/jest jakąś funkcją zespoloną ciągłą na K,f = u+ vi, to u e Si i v e 38, zatem f e 38.

Zadania

1.    Wykazać, że każdy jednostajnie zbieżny ciąg funkcji ograniczonych jest jednostajnie ograniczony.

2.    Niech ciągi {/„} i {g„} będą jednostajnie zbieżne na £. Wykazać, że ciąg {f„+g,} jest zbieżny jednostajnie na £. Jeżeli ponadto funkcje {/„} i {g„} są ograniczone przy każdym n, to także ciąg {/^„} jest zbieżny jednostajnie na £.

3.    Znaleźć ciągi {/„} i {g_n}, które byłyby zbieżne jednostajnie na E, a ciąg {/„g„} nie byt jednostajnie zbieżny (oczywiście ciąg {f*g«} ^musi być zbieżny punktowo na £).

-    V i

4 Rozpatrzmy szereg /(x) = > -5—. Dla jakich wartości x ten szereg jest zbieżny bezwzględnie? Na jakich

/ J + ll X    i

«=i

przedziałach szereg jest zbieżny jednostajnie? Na jakich przedziałach szereg nie jest zbieżny jednostajnie? Czy funkcja/jest ciągła w punktach, w których szereg jest zbieżny? Czy funkcja/jest ograniczona?

5. Niech

0	dla	1 X < —
		n+i
• 2* sin —	dla	1 —i < x
X		n+1
0	dla	1 - < X.

n

/„(*) =

Pokazać, że ciąg {/,} jest zbieżny do funkcji ciągłej, ale zbieżność nie jest jednostajna. Posłużyć się szeregiem £/„ w celu wykazania, że zbieżność bezwzględna (nawet gdy zachodzi przy każdym x) nie pociąga za sobą zbieżności jednostajnej.

\ 3    ^2 ^ yj

6.    Wykazać, że szereg y (— 1)"—jj—jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale ograniczonym, lecz nie

n»l

jest bezwzględnie zbieżny dla żadnego x.

x

7.    Określmy /„(x) = ——j-, gdzie h = 1,2,..., a x jest liczbą rzeczywistą. Wykazać, że ciąg {/„} jest zbieżny jednostajnie do funkcji/i że równość

/'(*)= lim/,'(x)

H-* CO

jest spełniona dla x # 0, a nie zachodzi dla x — 0.

8. Niech

dla x < 0, dla x > 0.

/w-{;