253 2

253

7.1. Operatory różnicowe i ich najprostsze własności

Dowód. Niech c będzie stalą. Dla k — 1 mamy

A (ca*) * ca*⁺¹h - ca^x=ca^xa^k - ca* * c O* - 1) a*. Ogólny wyniJk otrzymuje się łatwo przez indukcję.

WNIOSEK. Dla    (gdy A-l) sąprawdziwe wzory

*dⁱ{2*} = {2"}.

Przykład 7.1.4. Aoiniro iloczynu

A(u_nv_m)=u_M+ % p.₊ i—«» o* “ n,/^Ł»4 i “■&■)+(11*4.1 —uJ v_H+1,

(7.1.6)    d (u.»,) = u* Je,+du„ -U.+ ,.

Porównajmy ten wynik z wzorem dla różniczek: d(uc)=udv-rvdu. Zauważmy jednak, te po prawej stronie (7.1.6) mamy e,₊₁₎ a nie v„.

Przykład 7.1.5. Startowanie przez części

M-l    s— i

(7.1.7)    X w«4c* = u_vc*-«₀i:₀- I ^*V«Vn-

f«»0    »=0

Dowód. (Porównajmy regułę całkowania przez części i jej dowód!). Zauważmy, że

N~\

X dW_łł-(*Y|-M>a) + (H'2-W_t) + . •+(^-H»_v.₁)=H>-W₀.

*-0

Zastosujmy tę tożsamość dla n-_n—n„iv Z (7.1.6) wynika, że po zsumowaniu

V—1    N—I

«_!vt>,v-Woi^,o= X ^u,dv_tt+ X du_n v_m¥1,

?kiid otrzymuje się (7.1.7).

Za pomocą A-tyeh różnic lunkcji można przybliżać jej k-tą pochodną:

Twierdzenie 7.1.4. Jeśli funkcja f ma k-ią pochodną ciągłą, to A*f(x)i=*h¥^M(ę), gdzie ęe[x, x+kh].

Dla &=1 to twierdzenie jest równoważne twierdzeniu o wartości średniej: f(x+h)-f(x)=hf(!t).

^,łA -2 z wzoru Taylora (dla o=.r- A) wynika, że

Ćdzśe

fia +. h) -/(«> = hf'(a)+}h?f"(tth f(a-h) —f (a) = - Af (a) + i/.²/"(£₂), t A=jr+2A (i=l, 2). Dodając te równości, otrzymujemy