7.1. Operatory różnicowe i ich najprostsze własności

Przykład 7.1.7. Często stosuje się następujące wzory:

8 ²f (a) => J²J i a- h) =f (a + h )- 2/ (a)+f (a - fi).

'TWlEW^^ENłE 7.1.5.

f^k\a)^h'^kÓ^kf{a) + c₁h²J^²\a) + c₂h^^+M(a) + ...

W szeregu po prawej stronie (począwszy od c_th*f^(k+ ² \a)) występują tylko parzyste potęgi h\ jest charakterystyczne dla przybliżeń za pomocą różnic centralnych. Współczynniki Cj zależą ad k, ale nie zależą od funkcji/.

Dowód (dla k = 1 i fc=2). Z wzoru Taylora wynika, że t²    f³    t⁴

(7.1.8)    /(<r + f)-/ (a)=+ —/"(«) + — f"'(a)+—/*%*) +

(7.1.9)    (a)= -    (tf)+~/^//(«)-^/'^/W+^j^^4,(0)-...

Dla fc=l odejmujemy tc równości stronami:

(7.1.10)    /(_{fl +} ()-/(fl-0=2l/'(a)+2^/'»+2i/'⁵'(a) + ...

Dzieląc przez li i przyjmując i otrzymujemy

(7.1.11)    A-¹5/(_fl)=A-'[/(a+|).)-/(<»-§/.)! =

=/^,(«)+^(>V’"W+T^5feV^<3)Co)+...

Dia 7r = 2 dodajemy stronami (7.1.8) i (7.1.9):

(7.1.12)    /(_a+t)-2/(o)+/(_a-r)=2^/"(o)+^/^<*⁾(a)+~r%)₊...) • dzieląc przez t² i przyjmując f=h, otrzymujemy równość

⁽⁷'^U3)    h-²ó²f(a)^rXa)+i-₁hY^ĄKa)+^hY⁶Ha)+. .

^    ^ f’^a    k jest bardziej złożony, ale podobny do powyższego. Używa się

^zen “ i 7,1.1 oraz własności symetrii współczynników dwumianu Newtona:

Uąc w praktyce twierdzenia 7.1.4 i 7.1,5, trzeba uwzględniać duży wpływ błędów