245 2

245

6.9. Układy równań nieliniowych

Często .stosuje się tu przybliżenie różnicowe

metody nie używające pochodnych.

Offa) _t ,    ,, f_i(x+h_Je_J)-f/x)

—    , h)----.

cxj    hj

uA*iE t-jest i-tvm wektorem jednostkowym, a A jest n-wymi arowym wektorem parametrów n jczerowy eh" h_} (J=> U2, • ••, «)• Jeśli /(*, A) oznacza macierz nxno elementach J_sj (x, h), to /i-wymiarowa metoda dyskretna Newtona jest opisana układem

_(ć96)    /{*“', iKx^llłl,-x">)+/(^^i,)= O.

J(x_} b)~(f(x+h_ie_z)-f(x}, ..., f(x+ h_ne„)-f(x))JH

Możemy oczywiście napisać wzór

gdzie

—diaaf/i. . h

Widać stąd, że wtedy i tylko wtedy, gdy wektory /‘ix^tK>+h_Je_J)-/(x^Kk)) 0=1.2.n) są liniowo niezależne, macierz J(x^{k\ A) jest nicosobliwa. a zatem wektora'⁴*^ł) jest określo-

ny-

Optsana metoda wymaga obliczania /(x) w n- 1 punktach x^w, x^(K)-^J-h,e_ltx^{t>4--f h_ae„. Koszt tych obliczeń jest więc porównywalny z kosztem metody Newtona, jeśli oczywiście obliczanief_t (x)jest tak samo kosztowne jak dla dfjfaj.

Aby prędkość zbieżności była tu tak duża, jak dla zwykłej metody siecznych w przypadku /: = 1, wektor h trzeba wybrać w pewien specjalny sposób. Bezpośrednie uogólnienie daje oczywiście wzór

0=1.2.....n).

Zakłada to, że x^,j~^i,-x⁽j⁾^0(j= 1, 2,.... n; k= I, 2, ...). Nic ma użytecznych wyników dotyczących spełnienia tych nierówności. Jeśli jednak są one spełnione, to dla funkcji /(x) dostatecznie regularnych metoda jest zbieżna, gdy ||x^<0)-*|J jest dostatecznie małe. Można wykazać, że wykładnik zbieżności jest równy 1.618..., jak dla n = 1. Jeśli w układzie (6.9.6) przyjmiemy ^t<(i_j^0tr/'-^,’^^ani-' uogólnienie metody Steffenscna. Musimy tu obliczać/(x) wii+l punktach ^{X 1 x}‘ *0=l>2,Jeśli zatem »>1, to w metodzie Steffensena liczba wyznaczanych wartości funkcji jest taka sama. jak w metodzie dyskretnej Newtona, ale Wykładnik; zbieżności wynosi 2.

x'^K>. Wtedy obliczając x^{k+i\ znaj-Ta metoda jest jednak bardziej niż mne metody

i>

tylko w jednym punkcie x i °*^>Isan€ skłonna do niestabilności.

siecznych można modyfikować na wiele sposobów tak, aby zmniejszyć liczbę .'Włączanych w jednym kroku wartości funkcji. Można np. przybliżać pochodne za po-^ wartości funkcji w punktach x^(k~*ⁱ, .... x^{k'