s126 127

126

3.4. Układy równań liniowych

126

1. Stosując twierdzenie Cramera, rozwiązać układ równań:

x + 2y + 3z = 2 2x — 3y + z = — 5 2x -f y — z = 5.

Rozwiązanie

Twierdzenie Cramera dotyczy rozwiązalności układów n równań liniowych z n niewiadomymi X\, X2, • • ■, x„ postaci

OnZi + 012*2 d----+ ai„x_n = bi,

(1-21X1 + (122X2 + • • • + Cl2nX_n ⁼ b-2,

(ii,] xi “p a_n2X2 + • ■ • + a„„x„ — bu.

Literą A oznaczymy macierz współczynników przy niewiadomych

		'an	012	Ol,7 "
	A =	021	022	02,,
		- 0„1	a„2	0,1 n -
Twierdzenie Cramera:	Jeżeli det(A)		# 0,	to układ	równań
jedno rozwiązanie dane	wzorami:
	D1		D-2		D„
X\ =	D ’	X2 —	D ’	X u	D ’

gdzie D = det(T), a Df, oznacza wyznacznik otrzymany z macierzy A przez zastąpienie w niej k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych b\, b-2, ■ • ■, b_n.

Obliczmy najpierw wyznacznik główny układu:

	1	2	3
D = det(A) =	2	-3	1
	2	1	-1

Ponieważ wyznacznik główny jest różny od zera, więc układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

r.

Wyznaczmy kolejno wyznaczniki:

x —

D*

D

2    2    3

D, =	-5	-3	1
	5	1	-1
	1	2	3
Dy =	2	-5	1
	2	5	-1
	1	2	2
D- =	2	-3	-5
	2	1	5

= 34,

= -34.

Korzystając z twierdzenia Cramera, otrzymujemy rozwiązanie

= i, y

= 68,

D_z

~D

-1.

2. Dla jakich wartości parametru a, układ równań liniowych

3x + ay + 3z = 0 aa: + y + 3z = 0 x + y + z = 0

ma niezerowe rozwiązanie ?

Jest to jednorodny układ równań liniowych i ma on zawsze rozwiązanie zero Jeśli det(al) / 0, to rozwiązanie zerowe jest jedyne. Powyższy układ ma. v niezerowe rozwiązanie jedynie wtedy, gdy det(A) = 0. Obliczmy wyznacz główny tego układu, czyli

3	a	3
a	1	3
1	1	1

det(zl)

—a² + 6a — 9 = -(a-3)².

Widać, że det(A) = 0 jedynie dla a = 3.

Odp.: układ ma rozwiązanie niezerowe dla a = 3.

3. Metodą macierzową rozwiązać układ równań

2 a: — y + 3z = 1, x + 4y + 5z = 12,

3x — 2y + 4z = 0.