s130 131

130

5. Rozwiązać układy równań liniowych:

(a)

x — y 4- 2z — 4 2x + y — 3z = 6

( x - 2y + z = l I x -\-y + z — 0 3x — y — z = 1 , 5.x - 2y + z = 2

Będziemy korzystać z twierdzenia Kroneckera-Capellego: Układ równań

a\\Xi + Ui2#2 + ■'*"+■ CLln&n ~ &1 0>2\X\ + CL'22%2 + * * * + 0>2nX_n — &2

4* <2/7/2%2 4" * ’ * 4" d_mnX_n ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R{A) = R(A₆),

gdzie

	dii	<212	<21/7 "		’ <2ll	<2l2	<2] 77	1
A =	<221 •	<222 •	<22/7 • • • •	w" II	<221 #	<222 • •	<22/7 • • •	bo m
	- <2ml	<2m2	<2/77. /7 -		- <2/77.1	<2/77.2	<2/77/7	bm-

Jeśli i2(.A) = R(Afy) = n, to układ ma jedyne rozwiązanie, natomiast gdy R(^4) =    — r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych

od n — r parametrów.

(a) Wyznaczmy rzędy macierzy A i Ab :

Układ ma rozwiązanie, gdyż R(A) = R(,4/,), a poniew^raż wspólny rząd macierzy A i Ai, równy 2 jest mniejszy od liczby niewiadomych, których jest 3, więc nasz układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru, gdyż n — r = 1.

Przyjmijmy za zmieną z parametr tzn. niech z — t G IR. Wówczas układ równań przyjmie postać

x - y 2x 4- y

—21 4" 4, 3/ I (I.

Ten układ można rozwiązać metodą Cramera, a więc

oraz

-2*+ 4 -1	= t + 10 D,, =	1 —2t + 4
3*+ 6 1	^1 y	2 Zt + 6

= 7t — 2

Odp.: układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one postaci:

(b) Jest to układ czterech równań z trzema niewiadomymi. Skorzystamy z twiei dzenia Kroneckera-Capellego przyjmując

Wyznaczymy rząd macierzy A dodając trzy pierwsze wiersze i odejmując j< potem od czwartego, więc

gdyż

R(A)

= -12/0.

Podobnie

R(A_b) = R

Zatem R(A) R(A_b) = 3 co oznacza, że układ ma rozwiązanie, a ponieważ wspólny rząd macierzy A i A_b jest równy ilości niewiadomych, więc jest U rozwiązanie jedyni