4542

110

Układy równań liniowych

Dziesiąty tydzień - przykłady

m

Rozwiązania    _

Roi wiązywanie dowolnego liniowego nkłndn równań postaci AX a B metod* eliminacji Gum polega na przekształcaniu macierzy rozszerzonej [A\B] tego okłada. Celem postępowania jest doprowadzenie macierzy [AIB] do macierzy    opisującej układ

równoważny wyjściowemu i jednocześnie zawierający w lewym górnym rogu macierzy A mtckn jednostkową, a pod nią jeszcze jeden wiersz złożony z samych zer. Wówczas, (godnie t twierdzeniem, możliwe będą trzy sytuacjo:

1.    nktad będzie sprzeczny, jeżeli element kołumny B wyrazów wolnych odpowiadający wierszowi zerowemu macierzy A będzie różny od zera.

2.    układ będzie miał tylko jedno rozwiązanie (i będzie równoważny układowi Cramcra), jeżeli poza macierzą jednostkową w macierzy A nie pozostanie żadna inna kolumna,

3.    układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli poza macierzą jednostkową w macierzy A pozostanie choć jedna kolumna. Liczba tych dodatkowych kolumn będzie wówczas babą parametrów określających rozwiązanie układu.

Nasze przykłady rozwiązywać będziemy w oparciu o algorytm Gaussa, ale zmodyfikowany, bo wykraczający poza układy Cr ara era. Będziemy wykonywać następująco operacje aa wierszach macierzy rozszerzonej:

•    zamiana między sobą i-tego i /-tego wierna (oznaczenie w, .—• w,),

•    mnożenie i tego wiersza przez stalą c różną od zera (oznaczenie cm,),

•    dodanie do i-tego wiersza /-tego wierna pomnożonego przez stałą c (oznaczenie w, +

c»j).

które wystarczały dla układów Cramera oraz dodatkowo:

•    skreślenie i-tego wiersza złożonego z samych zer (oznaczenie df, S 0),

■ skreślenie i-tego wierna równego /-temu wierszowi (oznaczenie t\> = w,),

•    skreślenie i-tego wiersza, który jest proporcjonalny do /-tego wiersza (oznaczenie

~ *>)■

Potrzebna ta jeszcze będzie operacja przestawiania j-tej kolumny na koniec niewiadomych (oznaczenie k, —) z jednoczesnym przemianowaniem oznaczeń niewiadomych.

a) Przekształcamy nuderz rozszerzoną układu równań otrzymując

gdzie x. t € B.

b) Postępując podobnie otrzymujemy kolejne równoważne postaci mącimy rozszerzonej

12-1-1 1113 3 5-1    1

1 2 0 -1 Lo -i

-1 -I 2 4 2 4

n-«u

[ 1 2-1 -1	1 i
| 0 -L 2 4	i
L|0 o o o

Ostatni wiersz uzyskanej macierzy wskazuje na sprzeczność danego układu równań. Widać to wyraźnie po rozpisaniu układa w formie rozwiniętej.

+ 2y - z - im 1 <    — f + 2« + 4t * 1.

I    0=* -1

c) Macierz rozszerzona [d|fl] danego układu równań po przestawieniu jego wierszy tri —• wj. to, —— ir« przyjmie postać

l	i	i	0 ‘
l	-i	i	1
2	i	i	1
. 3	-i	3	2 •

Dokonując na wierszach tej macierzy zaznaczonych operacji otrzymujemy kolejno

IB

W, - W| Kł ->■!

“4 - ³ » l

w, i a

1 I -2 0	0 ‘ 1	J^3	1 1 1 0 I I	o		I
-1 -1 -4 0	1 2.		0-2 0	1	^wl4Jwł lo 0 2	li

“■i - **a ■ ■ —* "'2 ~ “3

1 0 0 0 1 o

1

1

2

y

2

0

-*1

_1

~2

0 0 1

Dany układ równań jest zatem równoważny układowi Cramcra posiadającemu jedyne rozwiązanie

s =

i I 4	1
	i
«b *• *0	r<
1	[°

- "7

f^j i i -i| n 0    1    3-3    1

lo -I -3    3 -lj

Dany okład jest więc równoważny układowi

I z

- 2z + 2< - 0

r + 3z - 3ł = 1

Układ len ma nieskończenie wiele rozwiązań z dwoma parametrami. Przyjmując niewiadome z 11 za parametry otrzymujemy rozwiązanie tego układu

d*) W tym przy kładzie pojawi się konieczność przestawienia kolumn. Można to zrobić jednorazowo pod koniec postępowania opuszczając wcześniej ,niewygodne’ kolumny. My jednak będziemy to robić stopniowo. Każdą .niewygodną' kolumnę (tzn. nie mającą elementn niezerowego poniżej jnż ustawionej -jedynki" na przekątnej) będziemy od razu przestawiać wrnz z ją| niewiadomą na koniec macierzy układu przed kolumnę wyrazów wolnych. Od lego momentu będziemy już zaznaczać nad kolumnami macierzy odpowiadające im niewiadome. Oczywiście niewiadome przeniesione na koniec staną się parametrami. Operację przeniesienia /-lej kolumny na koniec będziemy oznaczać symbolem k, •—*, a przeniesione kolumny będziemy dla przejrzystości oddzielać linią przerywaną. Mamy zatem

x = 2x - 21 f = I - 3z + 31,