Układy równań liniowych
0

111

110    Układy równań liniowych

Ostatni wiersz uzyskanej macierzy wskazuje na sprzeczność danego układu równań. Widać to wyraźnie po rozpisaniu układu w formie rozwiniętej

x +    2y    - z    ~ t =    1

-    V    + 2z At =    1    .

0 = -1

c) Macierz rozszerzona [A\B\ danego układu równań po przestawieniu jego wierszy uą W2 *—*wą przyjmie postać

1

Przykłady

Mamy zatem
	'12 3-2 -1	6'
	3 6 5 —2 —9	1
	2 4 2 0 -8	-5
	247-5 1	17
	1 2 6 -5 -10	12.

im =

■ 1	1	1	0 ‘
1	-1	1	1
2	1	1	1
. 3	-1	3	2 _

Dokonując na wierszach tej macierzy zaznaczonych operacji otrzymujemy kolejno

	’1 11	0'
75* ^	0-2 0 0 -1 -1 0-4 0	1 1	• - • »5 U--3 - {-!) 7 ~ $
		2

1    1 1

0    1 1

0-2 0

1 1 1

0 1 1 0 0 2

1 2 0 0

0    0-4 0 0 0 0

X y

1    2 0 0 0 0-4

3 -2 -4 4

0

-1

1

0

-1

-1

	'111	0'		'10 0	r 1
	0 1 1	-1	. .ii} i	0 1 0
—*>	0 0 1	1 ~2 .		0 0 1	2 1 2.

Dany układ równań jest zatem równoważny układowi Cramera posiadającemu jedyne rozwiązanie

x =

V =

z =

d*) W tym przykładzie pojawi się konieczność przestawienia kolumn. Można to zrobić jednorazowo pod koniec postępowania opuszczając wcześniej „niewygodne” kolumny-My jednak będziemy to robić stopniowo. Każdą „niewygodną” kolumnę (tzn. nie mającą elementu niezerowego poniżej już ustawionej „jedynki” na przekątnej) będziemy od razu przestawiać wraz z jej niewiadomą na koniec macierzy układu przed kolumnę wyrazów wolnych. Od tego momentu będziemy już zaznaczać nad kolumnami macierzy odpowiadające im niewiadome. Oczywiście niewiadome przeniesione na koniec staną się parametrami. Operację przeniesienia j-tej kolumny na koniec będziemy oznaczać symbolem kj i—>, a przeniesione kolumny będziemy dla przejrzystości oddzielać linią przerywaną-

To oznacza, że

zatem rozwiązanie naszego układu

gdzie

y,t e r.

0 0 x z '1 3 0 1 0 0 0 0 x z 1 3 0 1

0 0

3

t

-2

-1

0

1 -1 3 -3 z t 3 -2 1 -1 4 -3 u -1 3 6

0 -18 U y 1 | 2 -3 10-

-1

-6

-6

3

-91 u -1 3

-6 -9 y 12 10 10 10 t 2 1

6

-17

-17

5

6

6

5

-17

6.

6

5

3

-9

. &9K

i I o o

x z u y

10 0 12

t

1

01010-1

o 0 1 I 0 o

' -4 7		' 2	1
2	—	0	-1
1 . 2		0	0

-4

7

2

1

2 J

ma w formie rozwiniętej postać

* = ~4 - 2y - t 7

“    J

1

u = —

2

* ^pr*ykład 4.16

"7Tl    ^tóWnań -"fc* k°'™ jednostkowych”-

I    SlJ 4- 5* -L 7n,    o    ,    ^J

2x + 9-y + 6z - 2s - 3t = x + 2y - _z - _s + 5f =

^a)

l

+    3y + 5z    +    7u =    2

2x -    y + z    +    3u =    4

x +    2y + 2z    +    2u =    -i

3x +    y + 3z    +    5u =    3

b)

~2x - 7y + - 5y -

z + 3s~4t= — z + 3 s + 6t =