DSC07343

104

Układy równań liniowych

—»i - 1 -Sm

Dokonując na wierszach tej macierzy zaznaczonych operacji otrzymujemy kolejno

1 1 0 -2

0 —1

0' 1	103—103	^1 1	9
1	»!• (-!) -*	0 1 1	—i
	Al ~ ">I	.0 -2 0	1.
2.

1 1 1 0 1 1 00 2

0'		1 1 1	0‘		'100	l‘
-1	«-3 -*	0 11	—1 1 2.	«*»1 — __, u»2 -	0 1 0	~2 l 2.
-1.		0 0 1			0 0 1

Dany układ równań jest zatem równoważny układowi Cramera posiadającemu jedyne

rozwiązanie

d*) W tym przykładzie pojawi się konieczność przestawienia kolumn. Można to zrobić jednorazowo pod koniec postępowania opuszczając wcześniej „niewygodne” kolumny. My jednak będziemy to robić stopniowo. Każdą niewygodną" kolumnę (tzn. nie mającą elementu niezerowego poniżej już ustawionej „jedynki” na przekątnej) będziemy od razu przestawiać wraz z jej niewiadomą na koniec macierzy układu przed kolumnę wyrazów wolnych. CM tego momentu będziemy już zaznaczać nad kolumnami macierzy odpowiadające im niewiadome. Oczywiście niewiadome przeniesione na koniec staną się parametrami. Operację przeniesienia j-tej kolumny na koniec będziemy oznaczać symbolem kj ——, a przeniesione kolumny będziemy dla przejrzystości oddzielać linią przerywaną. Mamy zatem

12 3-2	-1	6"		12 3-2 -1	6‘
3 6 5 -2	-9	1	•J - 3*i	0 0 -4 4 -6	-17
2 4 2 0	-8	-5	•3 “ 2vx _ «« — 2lf|	0 0 -4 4 -6	-17
2 4 7 -5	1	17	•5 - *1	0 0 1-1 3	5
.12 6-5	-10	12		.0 0 3 -3 -9	6

W2-«*

d|j =

x y z t u

12 3 —2 —1	6'
0 0 I -1 3	5
0 0 -4 4 -6	-17
.0 0 3 -3 -9	6.

kir-?

V] + *<*1

u>* - ³“3

xz t u y
13-2 -1 12	6'
0 1-1 3 |0	S
0 0 0 6 jo	3
0 0 0 -18 j 0	-0.

A* ~ “» «* '*

X z U y t

‘ 1 3 —1 12 —2	6‘
0 1 3 jo -1	5
.0 0 1 |o 0	1 2 ■

UI2 -. - 3103 +

Przykłady

	X z	u y	t
	1 0 0 12		1	-4'
	0	0 |0	-1	7 2 1 2.
	0	l |0	0
		' -4 [SB		’ 2
i z	—	m		(W
u		. 2 i		: 6

To oznacza, że

zatem rozwiązanie naszego układu ma w formie rozwiniętej postać

® = -4-2y-t

2

gdzie p,t 6 R.

•^Przykład 4.16

5

5 i 5

i

5® +    y +    2z    +    s    —    t    +    6u    =    2

-11® -    3y -    9z    -    2s    +    4f    - 15u    = -5

c) 14x + j/ + 2z + 3s + 2t + 13u = 6 .

3x ja2y —    7z    +    s    +    6t    2u    =    1

2® +    3y +    9z    -    71    +    8u    =    fji.

Rozwiązać podane układy równań „metodą kolumn jednostkowych”:

a)

4® + 3y    + 5z    +    7u    =    2

2x — y    + z    +    3u    =    4

x + 2y    + 2z    +    2u    =    —1

3® + y    + 3s    +    5u    =    3

b)

2® + 9j/    +    6z >- 2a    - 3f    =

x + 2y    ^    z    -    a    + 5t    =

-2® - 7y    +    z    +    3a    - 4i    = -

-® - 5y    -    z    +    3s    + 6t    =

Rozwiązanie

Metoda kolumn jednostkowych jest praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa. W przypadku dowolnych układów równań celem postępowania jest doprowadzenie kilku kolumn macierzy układu do postaci jednostkowej (tzn. z jedną jedynką i resztą zer) tak, aby „jedynki” w wyróżnionych kolumnach znajdowały się w różnych wierszach. Wybór kolumn do przekształceń jest dowolny. Najlepiej jest brać kolumny zawierające „małe" liczby całkowite, „dużo” zer, a wyróżniony niezerowy element powinnien znajdować się w wierszu dotąd nie wybieranym. Samo przekształcenie kolumny wykonujemy dokładnie tak, jak dla układu Cramera (patrz Przykład 4.13). W stosunku do układów Cramera w przypadku dowolnych układów równań mogą w trakcie postępowania pojawić się wiersze zerowe - wtedy je skreślamy, wiersze równe lub proporcjonalne - wtedy skreślamy jeden z nich. Może się zdarzyć, że w macierzy rozszerzonej układu pojawi się wiersz zerowy z Jednym elementem niezerowym w kolumnie wyrazów wolnych. Taki układ równań jest oczywiście sprzeczny. Jeśli tak się nie zdarzy, to postępowanie kończy się wtedy, gdy liczba