DSC07340

98

Układy równań liniowych

Stąd wynika, że * = ²- V ^{= 3}’¹    *'

c) W tym przy kłodzie mamy

I-^2 I	-7 ‘		10 0	2"
	26	t»3+ł“J —•>	0 1 0	3
0 1 ?r 0 0 i	7 -1	u,i+Z»3-3»J	0 0 1	-1.

' 12-30	o‘
4 8-71	i
12-11	i
r 1 M Ot	0

vj —4wx •> - ^w» ■t + «*

l 2 0 0 0 0

0    3

1    2 0 1 0 0 0 0

-3 0 5 | 1 2 1 1 6

5 1

12	-3 0	0'
03	16	0
00	21	1
00	5 1	1

U>3 : J u>a : 2

04 —

0 2 1 2

0-!

1 2 -3

>;#§

-I 0 1

o'		’l 0 0 0	4"
0	•J — 5® 4	0 10 0	-2
1	tej — 1 u»a — 2ł£»4 “*	0 0 10	0
	wi — 2 ura + 3u}
2		0 0 0 1	1.
l

n

0 0 1

0    o

1    2 0 1 0 0 0 0

Stąd x = 4, p = -2, z = 0, t = 1.

d) Następny układ pięciu równań będziemy rozwiązywać ściśle według algorytmu Gaussa, dlatego nie będziemy zaznaczać wykonywanych operacji elementarnych. Dla przejrzysto-id będziemy otaczać ramką ten fragment macierzy, który ulegnie zmianie w następnym kroku. Mamy zatem

Rozwiązaniem tego układu równań są liczby z = 1, y = 0, z = 1, a = 0, t = 1. Można przy tym zauważyć, że szukanie rozwiązania ze wzoru Cramera byłoby bardzo pracochłonne. Również obliczenie macierzy odwrotnej wymagałoby większej ilości rachunków.

• Przykład 4.14

Stosując „metodę kolumn jednostkowych" rozwiązać podane układy Cramera:

(    ^2x    -    v    +    ²    =    i

a) |    —4x    -    I2y    +    z    =    2    ; b)

[    3x    -ł-    3y    +■    z    =    3

x + y    +    2z    +    3t    =    1

3* g y    -    z    -    2t    =    -4    _

2x +. 3y    —    z    —    t    =    —6    ¹

x + 2y    4    3z    -    t    —    -4

3x + y    + a + 2£ = 2

«=)

13	0	o	Ó	0	i
0	1	o	V	ó	0
0	0	i	0	0	1
0	-Ęt.		1	;ó?i	0
0	0	0	0	■w	1

Przykłady

1

O

• l O

o

o

4 2-10	3		^1 Q_ 2 -i 0	3
1 2 0 -3	-1		0 1 | 2 o -3	-i
0 1 0 -1	0	—*	o o 11 o	0
0 0 12	2		0 0 0 1 1 2	?
0 0 WE 2	y\		0 0 0 0 l	1

x g y    +    3*    +    2a    =    1

2x +    2y    +    z    +    s    +    3£    =    3

£ -I-    2//    -    z    -    a    +    t    =    Jj

y    +    22    +    2a    =    3:

Rozwiązanie

„Metoda kolumn jednostkowych” jest praktyczną wersją metody eliminacji Gaussa. Polega ona na odpowiednim przekształceniu macierzy rozszerzonej układu. W przypadku układów Cramera celem postępowania jest doprowadzenie wszystkich kolumn macierzy układu do postaci jednostkowej (tzn. z jedną jedynką i resztą zer) tak, aby jedynki w poszczególnych kolumnach znajdowały się w różnych wierszach. Dla układu Cramera z n niewiadomymi metoda ta wymaga u kroków, gdyż w jednym kroku przekształca się ostatecznie całą kolumnę. Kolejność przekształcanych kolumn oraz położenie końcowych „jedynek" jest dowolna, przy czym praktycznie jest do przekształcenia wybierać kolumnę składającą się z jedynki, „małych” liczb całkowitych i ,,dużej" liczby zer. W porównaniu z klasycznym algorytmem Gaussa metoda ta nie wymaga przestawiania wierszy ani budowania macierzy trójkątnej, wymaga jednak wykonania większej liczby mnożeń. Przekształconlo j-toj kolumny. Chcąc w miejsce niezerowego elementu a_tj otrzymać .jedynkę”, a na pozostałych miejscach j-tej kolumny same zera wystarczy i-ty wiersz macierzy rozszerzonej podzielić przez ay. Następnie należy od pozostałych kolejnych wierszy odejmować i-ty wiersz mnożony odpowiednio przez ay, atj,..., ai_y, ar+y,..., Onj. Schematycznie przedstawimy to poniżej