str013

3’

Z powyższych inkluzji wynika, że G — .4 C P i -A - G C P. Stąd wynika, że G A .4 jest zbiorem I kategorii, ponieważ zbiór P jest. zbiorem I kategorii. Zbiór G je;.* otwarty, wiec wobec równości .4 = G A (G A .4) otrzymujemy, że zbiór .4 = \J'*_ ,4„ ma własność Baire'a. A zatem rodzina zbiorów mających własność Baire'a tworzy j-cialo.

5. Suma dwóch rr-cial nie musi być cr-cialem. Niech X = {a, b, c], a = b, 65= c, a = c,

-4i = {(3, A', {a}, {6, c}}.

A₂ = {9, A*. {6}, {u.c}}.

Rodziny zbiorów ,4_t, .4; są rr-cialami

-4; U Ai = (9, X, {a}, {6},U.c}.{n,c}}.

Rodzina zbiorów ,4r U At nie jest c-ciaiem, ponieważ zbiory {a}, (b} £ ,4i U .Aj, natomiast zbiór (a, i) £ A\,'G A-i.

6.    Dla dowolnego zbioru .4 C X, niech u'(.4j = L. Funkcja fi' spełnia warunki 6, c z definicji 4, natomiast nie spełnia warunku a.

Niech 3 będzie dowolnym podzbiorem .Y, wówczas dla dowolnego zbioru .4 C A zachodzi nierówność

fi'(A) < /z"(A O 3) 4- #t*(.4 — B), a zatem nie istnieją zbiory mierzalne.

7.    Bezpośrednio z definicji fi' widać, że spełnione są warunki a), b) z definicji 4.

Niech    będzie dowolnym ciągiem podzbiorów przestrzeni X. Jeśii A„ =9

dla dowolnego n £i^!l,to fi’ ^ IJ”=i = £“_=l/t*(.4„). Jeśli istnieje no 6 Tl takie,

ze .4,,, yt 0, to fi’ ( jJiT=i An) = 1 < 7^=1 /‘"(An)- Wykazaliśmy, że fi‘ jest miarą zewnętrzną. Pokażemy, że rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbioru pustego 1 z przestrzeni X. )

Załóżmy, że card(A") > 1. Rozważmy dowolny zbiór 0 7; 8 ■£ X, ponieważ l =    < fi'[B) 4- fi'[X — B) = 2, więc zbiór B nie jest mierzalny.

S. W podobny sposób jak w zadaniu 7 dowodzimy, że ft~ jest miarą zewnętrzną. Jeżeli card(.Y) = 2, fi" jest miarą określoną na 2^A , więc wszystkie podzbiory X są mierzalne. Jeżeli card(.Y) > 2, to rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbioru . pustego i z przestrzeni X. Niech B będzie dowolnym podzbiorem A i 0 5i B ~ X.

■ Niech X 7= .4 C X takie, że .4 fi B 5= 0 i .4 — B £ 0. Wówczas /t"(.4) = 1 < H'(AnB) + jt*(.4 — 3) = 2. Zatem zbiór B nie jest mierzalny.

9. Oczywiście fi" spełnia warunki a), b) z definicji 4. Aby wykazać, że jest spełniony lYiirunek c), wystarczy rozważyć przypadek, gdy dla dowolnego n £ U zbiory .4_n są co najwyżej przeliczalne i przypadek, gdy co najmniej jeden zbiór .4„ jest nieprzeliczalny. Udowodnimy, że rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbio-rów co najwyżej przeliczalnych i ich dopełnień. Niech .4 będzie dowolnym zbiorem przeliczalnym. Jeżeli B jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to

0 = yP(B) = yt*(Bn,4)-łV(B-.4).

Jeżeli O jest zblotem nieprzeliczalnym, to

l = _fr(B) - ^(BnA) +n'(B-A).

Ponieważ rodzina zbiorów mierzalnych stanowi j-cialo (patrz twierdzenie l theodory'ego'), więc dopełnienia zbiorów ;o najwyżej przeliczalnych są zbiorami mierzalnymi. Niech B będzie takim zbiorem nieprzeliczalnym, że X — B jest też zbiorem nieprzeliczalnym. Wówczas

1 = n'(X) < ;.*I.V n 3) + fi‘{X - B) = 2.

Zatem zbiór B nie jest mierzalny.

10.    Odpowiedz: rodzina zbioców mierzalnych składa się ze zbiorów l kategorii i ich dopełnień.

Wskazówka: patrz rozwiązanie zadania 9.

11.    Należy sprawdzić, że zachodzą warunki a), b). c) z definicji A Oczywiście H*(0) = 0.

Załóżmy, że A C B. Jeśli B jest zbiorem nieskończonym, to oczywiście n’[A) < /i'(3) = l. Jeśli S jest zbiorem skończonym, to cacd(.-l) < card(B). Przypuśćmy, że /i*{ A) > l*'(B). Stąd otrzymujemy, że card(.l) > catd(3). Z otrzymanej sprzeczności wynika, że ji*(A) <

Udowodnimy, że spełniony jest warunek c). Niech {A„}niii będzie dowolnym ciągiem podzbiorów .V. Jeżeli w ciągu (Ai}_n=;i jest co najwyżej jeden zbiór niepusty, to

"‘(U -ó-r)

nsl    nsl

Jeżefi w ciągu    są co najmniej dwa zbiory niepuste, to wobec nierówności

< n~(A) < l dla A yi 0 mamy, że

n = L

Udowodniliśmy, że ą" jest miara zewnętrzną.

Wykażemy teraz, że dowolny zbiór i -A .4 == X nie jest mierzalny Zachodzi nierówność ) < #x"(X O A) ~ fi‘[X - A), a zatem rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbioru pustego i przestrzeni .V.

12. Rozwiązanie pierwszej części zadania wynika bezpośrednio z definicji miary fiij. Wykażemy, że zachodzi równość S0r_o = SOIfi2^w. Niech B = SOtę, a więc B ~ 2^H.

Niech A C X, wówczas    , _r, _n i

ko A t-i 2

n'(A) = f(A(Mf) + f(A - H) = nHAr\ H) + ? (A-ff)

= figl-An nr\ B) +^([Ar\ H)-B) + /.'(A - ff) = #T(Anfl)

+ p-((A- B)r\H) + n^m{[A-B)- H)=n^AOB)+n^m(A-B),

a zatem 8 ę SOI.

M

IM

II

■

P

10

p

p

nsl