str013

32

Z powyższych inkluzji wynika, że G — .4 C P i .A — G C P. Stąd wynika, ze G A .4 jest zbiorem I kategorii, ponieważ zbiór P jest zbiorem I kategorii. Zbiór G je;/ otwarty, więc wobec równości A = G A (Cr A A) otrzymujemy, ze zbiór A = (J_nl A„ ma własność Baire'a. A zatem rodzina zbiorów mających własność Baire'a tworzy j-ciaio.

5. Suma dwóch rr-cial nie musi być cr-cialem. Niech A' = {a,4,c}, a = b, b ^ c, a = c,

^i = {0.A',{a},{6._C}}.

Ai = {3, .V, (ó), {a.c}}.

Rodziny zbiorów ,4_t. A? są c-cialami

.4r 'J A2 = ('3, X, {a}, {4}, {(;,c},{a,c}}.

Rodzina zbiorów Ay U A-> nie jest <r-ciaiem, ponieważ zbiory {a}, (4} £ Ai U .4a, natomiast zbiór [a, 6} £ -4i U A->.

6.    Dla dowolnego zbioru .4 C A, niech u" 1.4 i = I. Funkcja p” spełnia warunki 6, c z definicji 4, natomiast nie spełnia warunku a.

Niech 3 będzie dowolnym podzbiorem A , wówczas dla dowolnego zbioru .4 C A zachodzi nierówność

ft"(.4) < /j^,Un3)+)i’(4 - fl), a zatem nie istnieją zbiory mierzalne.

7.    Bezpośrednio z definicji /z* widać, że spełnione są warunki a), b) z definicji 4. Niech {.t,.}„=;) będzie dowolnym ciągiem podzbiorów przestrzeni A'. Jeśii A„ = 3

dla dowolnego u £ Pi, to yi’ ^UjT=i -^ⁿ) ⁼ iż¹*C-4.,,). Jeśli istnieje no £ Fi taksę,

ze .4,,., A 3, to n’ ( UiT=s -4n) = ¹ < Er=s    Wykazaliśmy, że yi’ jest miarą

zewnętrzną. Pokażemy, że rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbioru pustego i z przestrzeni X. )

Załóżmy, że card(A'j > 1. Rozważmy dowolny zbiór 3 y= B jć X, ponieważ l = ;i'(A‘) < yt‘(B) -f fi'(X — B) = 2, więc zbiór B nie jest mierzalny.

3. W podobny sposób jak w zadaniu 7 dowodzimy, że yi~ jest miarą zewnętrzną Jeżeli card(.Y) = 2, yi‘ jest miarą określoną na 2'^v, więc wszystkie podzbiory X są mierzalne. Jeżeli card(A') > 2, to rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbioru , pustego i z przestrzeni A'. Niech B będzie dowolnym podzbiorem X \    ^ B ~ X.

. Niech X ? .4 C ,\' takie, że .4 Cl B ;= 3 i .4 - B ^ 0. Wówczas ^'(.4) = 1 < yi'[A n B) + /i'(.4 — B) = 2. Zatem zbiór B nie jest mierzalny.

9. Oczywiście yi" spełnia warunki a), b) z definicji 4. Aby wykazać, że jest spełniony warunek c), wystarczy rozważyć przypadek, gdy dla dowolnego u £ H zbiory .4„ są co najwyżej przeliczalne i przypadek, gdy co najmniej jeden zbiór A_n jest nieprzeliczalny. Udowodnimy, że rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zhio-rów co najwyżej przeliczalnych i ich dopełnień. Niech .4 będzie dowolnym zbiorem przeliczalnym. Jeżeli B jest zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to

0 = ^(B) = yi’(Br\A) + yi'{B-A).

leżeli O jest zbiorem nieprzeliczalnym, to

l = n'{B) = n‘{BriA) +p’(S -A).

Ponieważ rodzina zbiorów mierzalnych stanowi j-cialo (patrz twiecdzei theodoryegoi, więc dopełnienia zbiorów :o najwyżej przeliczalnych sa zbi

realnymi. Niech B będzie takim zbiorem nieprzeliczalnym, że .V - B jest tez zorotem nieprzeliczalnym. Wówczas

l = p-(,Y) < p*(.V :1 3) 4- p'(A* -B) = 2.

Zatem zbiór B nie jest mierzalny.

10.    Odpowiedz: rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbiorą w l kategorii i ich dopełnień.

Wskazówka: patrz rozwiązanie zadania 9.

11.    Należy sprawdzić, że zachodzą warunki a), b). c) z definicji -i Oczywiście

Załóżmy, że A C B. Jeśli B jest zbiorem nieskończonym, to oczywiście p'(.-l) < ft'(B) = l. Jeśli 8 jest zbiorem skończonym, to caccl(.A) < card(S). Przypuśćmy, że fi'{A) >    Stąd otrzymujemy, że card(.l) > carcl(B). Z otrzymanej sprzecz

ności wynika, że ;i*(.-l) < n'[B).

Udowodnimy, że spełniony jest warunek c). Niech {.-i,będzie dowolnym ciągiem podzbiorów X. Jeżeli w ciągu (.4-,}„=:i jest co najwyżej jeden zbiór niepusty,

to

Jeżefi w ciągu {.4„},_i£:i są co najmniej dwa zbiory niepuste, to wobec nierówności Ł < p'(.l) < l dla A 5= % mamy, że

Niech A C X, wówczas

Udowodniliśmy, że p* jest miarą zewnętrzną.

Wykażemy teraz, że dowolny zbiór A £ .4 tr A' nie jest mierzalny. Zachodzi nierówność ;i'(A") < ;i*(X fi ,d) 4- p"(.Y - .1), a zatem rodzina zbiorów mierzalnych składa się ze zbioru pustego i przestrzeni A*.

12. Rozwiązanie pierwszej części zadania wynika bezpośrednio z definicji miary (Lq. Wykażemy, że zachodzi równość Wo = 9-'lfi'2^W. Niech B = OTo, a więc B 4 1^H

n‘(A) = /(.An H) + p-[A - K) = nHAn H) + p^m[A - H)

= MAnHnB) + n’₀([AnH)-B)+_tf\A-H)=n'UnB)

+ p-((.l - B) n H) -r #i*(U - B) - H) = n’(An B) + f{A - B),

a zatem 3 € PH.

i:

ii