1 (37) 2

Zadania

43

(Otwarte?

t z definicji, że K jest zbiorem

skupienia jest przeliczalny, mego pod po krycia.

: ^r»arty” zastąpimy słowem

jp, ą) - \p—q\. Niech £ będzie Mjr w Q, lecz nie jest zwarty.

pac zawierają tylko cyfry 4 i 7. £ fest doskonały? wymiernej?

oetrycznej. Udowodnić, że są

| < i i określmy podobnie ie- ć*a punkty jest nieprzeli-

tiady podzbiorów R²). e A. b e B i określmy

bić-r gęsty. Pokazać, że R^k jest jme

wolnego x e X i dowolnego rżdy otwarty podzbiór X jest

■rtsaazówka. Rozważyć wszystkie kule o promieniach wymiernych i o środkach w punktach pewnego ^Hhzacnego podzbioru gęstego X.

Kią. Niech X będzie przestrzenią metryczną, w której każdy nieskończony podzbiór posiada punkt skupienia. ^^Bmkśwć. że X jest ośrodkowa.

Hkfcazó wka. Ustalmy d > 0 i wybierzmy x₍ e X. Przypuśćmy, że wybraliśmy już x,.....xjeX. Wybierzmy x_J+,

Hb aożiiwe tak, aby d(x_h x₁₊    5 dla i = 1,2,... ,j. Trzeba pokazać, że to postępowanie musi się urwać po

^^Hpmeg ilości kroków, i że wobec tego X może być pokryta przez skończoną liczbę otoczeń o promieniu 5.

a; 5 = 1/n (,n - 1,2,...), otrzymujemy przeliczalny zbiór środków rozważanych kul, który jest szukanym ■kliiBeE: gęstym.

I 25. udowodnić, że każda zwarta przestrzeń metryczna K posiada przeliczalną bazę i jest wobec tego ośrod-

■ W stazówka. Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje skończona ilość kul o promieniu 1/n, których suma K.

I ł. Powiemy, że punkt p przestrzeni metrycznej X jest punktem kondensacji zbioru E c X, jeżeli każde punktu p zawiera nieprzeliczalnie wiele punktów zbioru E.

V ftzypuśćmy, że E c K^kjest nieprzeliczalny, i niech P będzie zbiorem jego punktów kondensacji. Udowodnić, że Bfar » ,e$t doskonały i co najwyżej przeliczalnie wiele punktów zbioru E nie należy do P. Inaczej mówiąc, pokazać, £ jest co najwyżej przeliczalny.

I * iiazówka. Niech {£„} będzie przeliczalną bazą R^k, i niech Obędzie sumą tych V„, dla których £nV„ jest co przeliczalny. Pokazać, że P = W^c.

I r. Niech X będzie przestrzenią metryczną, której każdy podzbiór nieskończony posiada punkt skupienia, ^^bwcdnić, że X jest zwarta.

I W s k azó wka. Na mocy zadań 23 i 24, X posiada bazę przeliczalną. Wynika stąd, że każde pokrycie X zbiorami Htanymi posiada przeliczalne podpokrycie {G»}, n— 1,2,3,... Gdyby nie istniała skończona podrodzina pokrycia Kpucrywająca X, wtedy dopełnienie F„ zbioru Gi>jG₂u ... uG„ byłoby niepuste dla każdego n, lecz f|F„ byłby Jeżeli przez £ oznaczymy zbiór, który zawiera po jednym punkcie z każdego £„, to £ posiada punkt skupienia ^Hpoeczność.

| M. Pokazać, że każdy domknięty podzbiór ośrodkowej przestrzeni metrycznej jest sumą zbioru doskonałego mk być ewentualnie pusty) i zbioru co najwyżej przeliczalnego.

•WMosek. Każdy domknięty zbiór przeliczalny w R^k posiada punkty izolowane.)

Wskazówka. Zastosować zadanie 27.

2S. Udowodnić, że każdy otwarty podzbiór R¹ jest sumą co najwyżej przeliczalnej rodziny rozłącznych Mimków otwartych.

Wskazówka. Zastosować zadanie 22.

31. Naśladować dowód twierdzenia 2.43 w celu otrzymania następującego rezultatu:

00

Jeżeli R^k = U F„, gdzie każdy ze zbiorów F„ jest domknięty, to co najmniej jeden z nich posiada niepuste

n = 1

Hprze.

00

Równoważne twierdzenie: Jeżeli G„ jest zbiorem otwartym i gęstym w R^k dla n = I, 2,.., to 0 G„ jest niepusty Hfcwiadniej jest nawet gęsty w R^k).

Gest to szczególny przypadek twierdzenia Baire’a; zobacz zadanie 22 rozdział 3 dla ogólnego jego sformuło-kama.)