70 71 (13)

/u

Układy równań liniowych

Stąd z + 3jr -t- i — 3. Szukany układ równań można więc zapisać tym jednym równaniem Jcsl to oczywjśae równanie ogólne danej płaszczyzny. Można je było otrzymać też metodą geometryczną biorąc punkt płaszczyzny Ą = (2,1,3) oraz jej wektor normalny

n = (—2,1, — 1) X (1, —3,2) =(1,3,1).

r) Podany zb:ór rozwiązań jest podzbiorem przestrzeni R*, należy więc ułożyć układ równań z czterema niewiadomymi Oznaczmy te niewiadome przez z,y_tz,v. Mamy zatem i = 1 + i + I + 3u, y = s — i — u, z = 2 + ł + 2ti, t = 3 — s — u, gdzie 3, (, u 6 R Parametry' s,t,u należy wyrugować wyrażając je najpierw w zależności od zmiennych t,y, z, v, a następnie pozostawiając w układzie równań tylko te zmienne. Mamy więc

' 1 13	X - 1 2-2	*4 - w3	1 0 1	H M i + «<* 1 1
0 12 0 1 2		- u.2 wj —	0 1 2
.012	z + v — 4		0 0 0	-(-z + y-3) + z
			0 0 0	Z — 2 + V - 2

' 1	1	3	2-11		r i	1	31 z- 1 "
1	-1	-1	V	WJ — tl/j	0	-2	-4 Uf +y + 1	*2
0	1		z - 2	U>4 + t*-l	0	1	21 2-2
1	0	-i	v — 3		_ 0	1	2 | z + v — 4

■(—x + y-3) + z = 0

Pierwsze dwa równania rozwiązanego wyżej układu równań można opuścić, gdyż występują w nich jeszcze s,i,u. Z dwu pozostałych równań wynika, że oraz x — 2 + v - 2 = 0 Zapisując te równania w postaci

/ r - y - 2*    = -3

( x — z + v = 2

otrzymujemy szukany układ równań. W tym przykładzie warto też dodatkowo zauważyć, zc zbiór rozwiązań W znalezionego układu jest dwuparametrowy podczas, gdy na początku wystąpiły aż trzy parametry. Nie ma tu sprzeczności, gdyż podany na początku zbiór w rzeczywistości można zdefiniować dwuparametiowo. Mianowicie

V= {(1 + s + t + 3tt, s - t - u, 2 + t + 2*, 3 - s - u) : s, I, u € R) =

= (1,0,2.3) + lin {(1,1,0,-1), (1,-1,1,0), (3,-1,2,-!)} = (3,0,2,3)+ lin {(1,1,0, -1), (1,-1,1,0)) .

Z równości (0,3.0,2) = (1,0, 2,3)+(l, 1,0, — 1)—2(1, —1,1,0) oraz (0,-2, l, 1) = (1,-1,1,0)—(1,1,0,-1) wynika, że

V = (0,3,0,2)+ lin {(1,1,0,-1),(0,-2,1.1)}

= {(z, 3 + r — 2z, z, 2 - z + z) : z, z 6 R) = W.

Zadania

O Zadanie 7.1

Znaleźć wymiary i wyznaczyć bazy przestrzeni rozwiązań podanych układów równań liniowych:

Siódmy tydzień - zadania

a) 2x - y + 5x + 3* = 0;    b) x + 2y = 2x - y = x + z \ i = 0;

c)r + y= yd-x=x-fć=l + x    d) x + y = y + x = x-r-s = s + l= * + y=0;

c) <

0

x-3y — z — t = 0 2x f y + z + t = 0 . 3x + 2y - x = 0 ’ 6x + 2y — z =0

*    +    2y    +    z    =    0

3x    -    y    +    i    =    0

4x    -f    y    +    z    -t-    £    =    0

5x    -4-    3y    +    2x    +    t    —    0

O Zadanie 7.2

Czy przestrzenie rozwiązań podanych układów równań liniowych są generowane przez wskazane wektory, odpowiedź uzasadnić:

u =(2,-4,1,1,2), v — (1,1,5,2,1);

f 4x    +    y — x    +    s    -    2Ł    =    0

a) < x    —    y -f z    —    s    —    3Ł    =    0    ,

[ 3x    —    y-t-z    —    s    —    5£    =    0

f z    -    3y    +    z    +    t    =    0

b) i 2x    +    y    +    x    -    7£    =    0    , u = (4,1, -2,1);

[ x    —    y    -    x    —    5£    =    0

{2x    +    2y    -    x    +    s    =0    ii = (—3,1,0,4,1),

5x    +    6y    +    z    -f    2s    +    Ł    = 0    ,    v = (-1,-1,1,5,0),

9x    +    lOy    -    x    +    4s    +    Ł    = 0    w = (2,-2.1. 1,-1)?

C Zadanie 7.3

Wyznaczyć zbiory rozwiązań podanych niejednorodnych układów równań liniowych zgadując jedno z tych rozwiązań oraz znajdując przestrzenie rozwiązań odpowiadających im układów jednorodnych:

	( 3x + 4y — 7x = 0	i	f 6x + 2y + 3x =2
a) \	x - 7y + llx = 5 ;	^b)	4x + 2y - z + 3* = 2 ;
	[ z - 2y + 3x = 2	1	[ I0x + 4y + 2x + 3< = 4
-{	x-f y tx + ! + u = 5	^dH	6x - 7y + x = 3
	3x 4- 2y -i- x + i — 3u = 4 *		^ — I2x + 14y — 2x = —6

O Zadanie 7.4

Zinterpretować geometrycznie zbiory rozwiązań podanych układów" równań: liniowych:

{4x - 2y + 8x = —6 2x — y -f 4x = —3 ; —6x + 3y — 12z =    9

13x — 7y — x =    4

x - 2y + 3x = -1 x — 3y — 7x =    6

3x - 6y + 9x = -3

C Zadanie* 7.5

Dla jakich wartości parametrów a,6,c € R zbiory rozwiązań podanych układów równań liniowych przedstawiają geometrycznie podane zbiory:

punkt, prosta, płaszczyzna;

. f ax + 6y = a² — b + ab ^a' [ ax — by = —a² + b - ab