24

40 A.S. Jagiełło, Systemy elektromechaniczne dla elektryków

stąd

71(2/2-1) 4 r

(5.13)

Aby sprawdzić, jak odległe od wartości pulsacji obliczonych z równań różniczkowych cząstkowych (5.8) są pulsacje obliczone dla' układu przybliżonego dyskretyzacją (5.13), wprowadźmy pojęcie błędu odwzorowania definicją:

8

%

co

11--Ł 1100%

l “»J

Zauważmy, że K = k— oraz I — J—, zatem: L    r

4	^K ■ 1 — sm / |	i - —i 1 Ł d ^
	nr: / TT 2	Ti(2n -1)

sini

j_ 4 r n{2n -1) 4 r

stąd ostatecznie

£o/„ =    1

I 7t(2n -1) \ 4r , n(2n -1) ~4r

^100%

(5.14)

Jak należało się spodziewać, wraz zc wzrostem r maleje błąd odwzorowania. W rezultacie gdy r zmierza do nieskończoności, błąd odwzorowania zmierza do zera.

W celu zobrazowania skuteczności odwzorowania pulsacji własnych wału ciągłego pulsacjami układu złożonego z elementów skupionych zostanie sporządzona tabela dla r równego 5 i 10.

r	n	1	2	3	4	5	6
5	^£%	0,41	3,66	9,97	18,97	30,14	42,84
10	^e%	0,1	0,92	2,55	4,96	8,12	11,98

Jak wynika z powyższej tabeli, system inercyjno-sprężysty złożony z dziesięcii elementów pozwala na odtworzenie z techniczną dokładnością i przybliżenie sześciu pierwszych pulsacji układu ciągłego, natomiast przy pięciu elementacl techniczna dokładność dotyczy zaledwie trzech pulsacji.

Obecnie rozważymy pulsacje własne takiego samego wału mechanicznego, jednak na jego swobodnym końcu niech znajduje się skupiony dodatkowy momeni bezwładności o wartości J_z. Tam też niech będzie przyłożony moment dany funkcją T_m j sin(coO-

Rys. 11. Wał jednostronnie sztywno zamocowany z dodatkowym momentem bezwładności na przeciwległym końcu

Zgodnie z wyrażeniem (5.7) wał mechaniczny będzie pod wpływem przemiennego momentu skręcającego ulegał odkształceniu:

zatem

Dodatkowy moment bezwładności musi spełniać równanie dynamiki: