15

22 A.S. Jagiełło, Systemy elektromechaniczne dla elektryków

Dla wyznaczenia macierzy sztywności dynamicznej przyjmiemy:

sin(coO

X]JX,

|_r₂J \T_m2 stąd dla rozwiązania asymptotycznego otrzymujemy:

IX, i r_,

0,

(3.9)

k₂ - co J₂ + j(x)D₂

k_x +k₂ - co²/! + ycoZ^j — k₂

Podobnie jak dla układów mechanicznych, można zbudować analogiczną macierz dla układów elektrycznych.

4. DRGANIA WŁASNE I REZONANSOWE

Istnieje bardzo wiele układów elektrycznych, mechanicznych, a także systemów elektromechanicznych, które pobudzone odpowiadają w oscylacyjny sposób. Właściwie każdy z układów opisanych równaniem różniczkowym wyższym od jedności, o pochodnych liczonych wzglądem czasu, może odpowiadać oscylacyjną funkcją. Zależne jest to od parametrów tego układu. Pulsacja (częstość) odpowiedzi własnej takiego układu nosi nazwę pulsacji własnej. Wyznaczenie analityczne takich pulsacji jest w ogólnym przypadku możliwe jedynie wtedy, gdy rząd równań opisujących dany system jest nie większy od czterech. Ale i wtedy stopień skomplikowania wyrażeń algebraicznych jest na tyle duży, że nie jest łatwo interpretować otrzymane wyniki. Z tego powodu ograniczymy się tu do rozważań nad układem opisanym równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu.

Niech będzie dany układ dynamiczny opisany równaniem różniczkowym zwyczajnym:

. d²x _ dx _    .. J

A—_t + B— + Cx = W    (4.1

dt dt

Rozwiązanie jednorodnego równania (4.1) (W = 0) ma postać: x = K_l exp{r_{t) + K₂ exp(r₂t)

gdzie i r₂ są pierwiastkami równania charakterystycznego:

Ar² + Br + C = 0

stąd

_-B ₊ V#²-4AC ~ 2A~    2A

W " u 1 n z tym, że tematem naszych rozważań są drgania, zatem z możliwymi....... i wybieramy to, dla których 4AC > B². Pierwiastki równania cha-

rnkttfl y*l    • Woźna teraz zapisać jako parę liczb zespolonych sprzężonych:

b_₊ . lę(_B_)² 2 A    A U Aj ’

gdzie j = 4-\

(4.2)