21

34 A.S. Jagiełło, Systemy elektromechaniczne dla elektryków

przy warunkach brzegowych:

©0,0) = 0    (5.3a)

*|r| =r„sin(cor)    (5.3b)

ĆX 'X=L

W celu rozwiązania tego równania zastosujemy metodę rozdzielenia zmiennych Fouriera. W metodzie tej zakłada się, że rozwiązanie będące funkcją dwóch zmiennych t i x [0(ć,x)j można przedstawić w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których każda jest funkcją tylko jednej zmiennej, i tak:

Q(x,t) = X(x)*T(t)    (5.4)

Po podstawieniu powyższego wyrażenia do równania (5.2) otrzymujemy:

JX(x)Tⁿ (t) = kX" (.x)T{t)

gdzie oznaczono przez 7’" =

d²m

dt²

oraz przez X"{x)

d²X{x) dx²

Po podzieleniu stronami możemy napisać:

X”(x) __ J T"{t) X(x) k T{t)

Dodając do równania zero w postaci A,² - A², otrzymujemy:

X"

X

-A²

Teraz, rozdzielając zmienne, uzyskujemy dwa niezależne równania różniczkowe:

A²

X¹¹

o rozwiązaniu:

X(t) = Cj sin h(kx) + C₂ cos h(hc)

oraz

T" k

= -V

T J

lub

= X.

£

o rozwiązaniu:

T(t) = C3sin J—Xt 1 V J

(#■

+ C4C0S

Zgodnie zatem z relacją(5.4) napiszemy:

0(ć,x) = [C, sin h(Xx) + C₂ cos/z(Aa')]

C, sin

+ C₄ cos

K -J

(5.5)

Z warunku brzegowego (5.3a) wynika zerowa wartość stałej C₂. Teraz rozwiązanie równania (5.5) przyjmie postać:

Q(ć,x) = i^CjC₃ sin

ki Kt

j

+ CjC₄ cos|

i*#

sin h(Xx)    (5.6

W celu wyznaczenia stałych rozwiązania (5.6) wykorzystamy drugi warunel brzegowy (5.3b):

kX

C,C₃ sin

X^~^t) + CjC₄ cos(xJ~^t

cos h(XL) = T_m sin(coO

stąd

C,C₄= 0