4538

102 Ukłdy równań liniowych

Liczbę x obliczamy ze wzoru x

dcl A\ dbi>t

gdiio

dcl A

dcl /li =

I ³

I 5 7

.

15

3-51 0 1 1

I 0 0 1

l

				0	0		1		0	0 I	0	I	0 0
									1	0 |	0	1	1 0
						—	0		1	1	0	0	1 1
	(		1		1 1 1		o	0	0	1 1	10	0	0 1
	1	0	0
10	1	1	0	[ = 1	,
1	0	1	l	■
1	0	0	0	1	1	1	0	0.		5	0	0
1	1	0	0		0	1	1	0		7	1	0
0	1	1	0	= 3	0	0	1	1		9	1	1
0	0	1	1		0	0	0	1		15 0	0	1
0	0	0	1
0			7	1 0 I

gili = -2 + i3 <■ n. 15 0 1

11

Stąd x = — = I-

• Przykład 9.4

Rozwiązać podane układy równań metodą macierzy odwrotnej:

i . _    „    ( x - 2y + 3z = -7

0

{iSp®⁸ b>li⁺ » ^{+ 4x}f ⁵

¹ " ^y ~ ^J    l 2r + 5y + z = 18

Rozwiązanie

Rozwiązanie X okłada Oram era postaci AX = B będziemy wyznaczać ze wzoru

x

a) Zapisując układ równań w postaci macierzowej otrzymamy

b) Podobnie jak w poprzednim przykładzie mnożymy lewostronnie układ równań w postaci macierzowej przez macierz odwrotną do macierzy układu- Otrzymamy wtedy

r * i r^1	-2	31-f	-7	1 -	-19	17	-n i r -7	1 f ^2
» U s	1	^4	5		5	-5:	A : i 5	o 3
* J L 2	5	ij	18 .	10	13	—9	fil 1	J l-l

Dziewiąty tydzień - przykłady

103

czyli z a 2. y

• Przykład 9.5

m 3.1 m

Rozwijać podane układy Cramera metodą eliminacji Ga ima:

( x-2y+3x = -7

b) 3x + y + -Iz = 5 ;

2* + 5y + z =

. f x + 5y = 2. * \ -3® + By = Im

18

x + 4y + 2z- s = 3 2x + 9y + 6*-2n-3t = 5 d) x +2y - r- « + 5t= 5.

-2x — 7y + * + 3a — 4ł = -5 \ —x — 5yz + 3s + 61 = 4

Rozwiązanie

Metoda eliminacji Gaussa dla układu Cramera postaci AX = B polega na rozwiązania tego układa poprzez doprowadzenie jego macierzy rozazerzoaej jdjfij do postać [ljXJ, gdzie / oznacza maderz jednostkową. Przy przekształceniach stosuje się operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej, co schematycznie można przedstawić nastąpu-

i%»_

•ruK|id<Boiuła

z + 2y - 3*

•lz + 8y — 7; + x + 2y — r +

= 0 ( = 1 I = 1

-*+ y + 4z + 0( = 0

pt|B]

IB

lik wUfłlkća

Ponieważ wszystkie wykonywane operacje przekształcają układ równań na układ mu równoważny, więc wektor X pojawiający się przy końcu postępowania jest nalanym rozwiązaniem układu. Kolejność operacji przy rozwiązywaniu naszych przykładów będzie zgodna z algorytmem Gaussa sprowadzenia macierzy nicosobUwcj do maaerzy jednostkowej.

a) Przekształcamy macierz rozszerzoną danego układu równań otrzymując

3ll

u

5l 21

3 6115 J

[l 5| 2]		[l 5 J21
[o 21121 J		1° 'M

Ostatni zapis oznacza, tc

f 1 • x + 0-y = -3 \0-x + lf= 1

zatem x = —3, J«l. b) Podobnie .obojem,

^11	-2 3	-7'
3	14	5
.2	51	18.

wj - 0"J

1	-2	3I-71	•j:T	1 -2 3 5	-7 26
0	7	-51 26 I		0 1 - =	7
0		—s| 32 J		,0 9 -5	32

-2

1

0

3

|

”7

10

7

1 0 0 1 0 0

-7

26

7

10

'7

li;	1	-2	3	-7 '
	0	1	5 ”7	26 7
	[ 0	0	1	-1

2

3

-1