86 87 (11)

Stąd wynika, że £( 5,) = - v, + \v₂, £(*2) = \ Vi - h : macierz przekształcenia £ ma 5    5    *

postać

r 6    1

Al =

t>2, e₃ =

^    U] *f tj ^    „

d) W tym przykładzie £(z,y, z) = (0.y.*)»    ⁼    ^    » ^{ea =} l'³ — Ti

—_{Ponadto    =} (0.1,2) = -25, + 9j, £(*2) = (0,-1,2) = 25* -

£(5₃) ₌ (o,3.2) = — 45, — 25* +3tfe. Macierz przekształcenia £ ma więc postać

r -^2	0	-4
0	2	-2
L 1	-1	3 .

Al

c) Dla przekształcenia rozważanego w tym przykładzie mamy

2 ’ 2

•5    Ot 4"    <71    <7*    3    3    9    9

L{p₂) = —9z² - 3x = -9^g3y^ - 3 ^Vl-y -= - j0, + j ~ J “ J*’

15    . 15    3    3

2

L(Px) = 3z³ — 6z² = 3^ł—— 6-^-——^- = \q_: + |<7₂ - 3g₃ - lq_A

£(j>₃) = —3r² - 15r = -3 ?³ t-gi - 15^-^ = - — <7j + —9* -

2 2

Możemy tera2 napisać macierz przekształcenia £ :

3    3    15

2

15

2

3

2

3

”2

2

3

=

2

-3

-3

• Przykład 9.3

Macierz przekształcenia liniowego L : U—♦ V ma w bazie {u,, £2, £3} przestrzeni liniowej U i w bazie {c_:ł t?₂) przestrzeni V postać

A_l =

3 -2 1 2    4 5

Znaleźć obrazy podanych wektorów w tym przekształceniu: a) u = 6u2 - £3; b) u = iij + 2u₂ - 4U3.

Rozwiązanie

a) Obraz wektora u wyznaczymy z definicji przekształcenia L i jego macierzy. Z macierzy A odczytujemy, że

£(“i) = 3v, +2*2, £ (n₂) = —2v, 4- 4t*, L (*3) = t>i + 5t>a.

Dziewiąty tydzień - przykłady

Stąd wynika, że

i (ti) = 6L { u₂) — L (U3) = 6 (—2v\ -ł- 4 t^ł2) — t»i — 51>2 = — 13 V| 4- I9t>? b) Zastosujemy zależność między wektorami u = Z] + 121*2 + *3*3, t> = yi + y*^Vi

	ii		yi
= v <=> A	12	=
			yz
	. 13 .
*ł 01		1 ‘

4 5

5 -10

W naszym przykładzie

ii

*2

*3

a więc L (u) = —5t>i - 101>;

• Przykład 9.4

Dla podanych przekształceń liniowych przestrzeni R² (A³) naszkicować zbiory D oraz L(D) i porównać ich pola (objętości), jeżeli

a) L : R? —> R², L(x, y) = (3z, x + 2y), D= [0,1] x [0,2];

b) L : R³ —> R^:>, L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę zOz,

D= {(z, y, z) € R³ : z^J + y² + z²^z}.

Rozwiązanie

Przykłady będą ilustracją wzoru

|£(D)| = |W|-|det,l|.

w którym A jest macierzą przekształcenia L, a symbol | • | oznacza odpowiednio pole lub objętość zbioru.

a) Zauważmy najpierw, że jeżeli punkt Q jest obrazem punktu P przy przekształceniu liniowym L, to obrazem odcinka OP w

tym przekształceniu będzie odcinek OQ , gdzie O jest początkiem układu współrzędnych. W naszym przykładzie zbiór D

jest równoległobokicm (prostokątem) rozpiętym na wektorach £j = (1,0), £2 = (0,2). Zbiór L(D) jest zatem równclcgłobokiem rozpiętym na wektorach L( tti) = (3,1), L(u₂

3    0

(0, 4). Przedstawmy to na rysunku. Macierz przekształcenia L ma postać A = a pola obszarów D i L(D) związane są zależnością \L[D)\ = 12 = 2 6 = \D\ • |dct A\. b) W tym przykładzie L(x,y,z) = (r,0, z), D jest kulą o środku w punkcie (o,0,

1 2

promieniu i, objętość zbioru D jest równa —. Dalej 2    o

^(^)= {(i,0, z): x² -f- y¹ + z ^ z} = {(r,0,z): i² + z⁷ ^ z}