s10 11

Z powyższego wynika, że a_n+i — a_n > 0 dla każdego n E N, a więc a„₊i > a„ każdego n E A^r. To oznacza, że ciąg {«„} jest rosnący.

rzystając z definicji pokazać, że:

lim

n —r x

3n — 1 4n + 5

2. lim — = 0

n—roc n

3. lim

17 —* OC

14-2- 5 "

2 4-3* 5"

2

3

adać, które z ciągów {a„} są zbieżne, a które są rozbieżne:

l. a„ = 5”	5. an	= (0,5)
T .. _ (^n + !)^! r. — . n\	8. a„	= 8“
adać monotoniczność ciągów:

6. a _n — 1 4~

(-i)"

n

7T

9. a_n — sin(n-)

n² 4- 3    2”

[). a„ =-, n > 1    11. a„ = —, n > 1

n    n\

)liczyć granice ciągów o wyrazie ogólnym a_n :

14. a„ =

(2n + l)(2n-3) 2n² 4- 3n 4- 1

7. a„ = log(n² 4- 1) - 2 log n

16- flp ——

18. a„ =

1    -5n³

2    + n² 1 4- ln n

n

9. a„ =

sin n

n

. 2

20. a„ = nsm —

n

y/»+i

22. a„ —3n — \/9n² 4- 6n 4- 1

3. a,

y/n 4- 2 — yjn 4- 1 \Jn 4- 1 - y/n

24. a„ — \/n² 4- 5n — 1 - >/ń² 4- 3

^,r»

nl

a„ =

\/n² T 7n —

n

17. a_t) = n\/2 — yj2ń² 4- 3n

26. a_n = n(2n — \/4n² — 3) 28. a„ = i/n³ 4- 4n² 4- 1 — n

29. a„ = vV+3 - v/i^3

30. a_n ■

2²”⁺¹ — 3

5 - 3 • 4”

31. a„ =

2” + 1

3" -4

32. a„ =    + 4»

33. a„

34. a_n — \/3" + 7rⁿ -f eⁿ

35. a_n — \J 1 • 2¹ + 2 • 2² + 3 2^ + • • • + u • 2^łł

36. a„ =

n

n

n + 1

37. d_n —

l-i'’

n

38. a„

1 +

1 \"

/i

2 n

39. <2_n — ( 1 +

n

40. a_i7 =

n + 6

2 77

n

41. a_n —

n² + 4

n

n

2

42. a_n —

44. a„

2    + ri²

3    + 7i²

2n -f 3 \ ^w

2u + 1 y

43. a_n .—

n - 2 n + 5

ii

-2 ii

45. a_n — ( 1 +

n

777. 77 4*3

46. a„

1 +

n

47. a„ = nln [ 1 -f- —

n

48. a_n =

^ 1 + 2 -f • • • + n

72 + 2

2

n — 1

2

49. a„ =

1 + ^ + • * • +

2"

50. a„ — (1 + 2 + • • • + fi)

Ił

1

{n + l)²

51. a„

_ 1 — 2 + 3 — 4 + -- - + (2 n — 1) — 2ti

52. a„ =

Vn² + 2

3 + 5 +----h (271 + 1)

3n² + 2

53. a» =

71

+ (n + l)⁵ + (n + 2)⁵ + • • ■ + (n + 100)⁵

n⁵ + 100⁵

54. a„

1 1

+ T-- +

1-2 2 • 3

• • •

+

(n - 1 )n

55. a

n

1 * 2 + 2 • 3 + • ♦ • + Ti ■ (n + 1)

2(71 + l)³