5167288131

tych dodatnich a_n, a_n_i, ..., ai, cio spełniających warunki: a_n_* = a^ dla każdego A: = 1, 2,    n — 1 oraz a_n = clq = 1. Udowodnić, że istnieje

nieskończenie wiele par liczb całkowitych a, b takich, że a\P(b) i b\P(a).

23.    Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, a Z7 — punktem styczności tego okręgu z bokiem BC. Okrąg uj jest styczny do prostej BC w punkcie D a do okręgu opisanego na trójkącie ABC w punkcie T, przy czym A i T leżą po jednej stronie prostej BC. Dowieść, że ZATI = 90°.

24.    Dane są dodatnie liczby rzeczywiste x\, X2, • ••, x_n takie, że

n

Xi = 1. Udowodnić nierówność: i=1

■A    Xi    1 + \/5

“ \/l + £1 H-----1- £*-1 •    + x_i+i H-----2

25.    W trójkącie punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z punktu A. Na pewnej prostej przechodzącej przez D wybrano takie punkty E i F, różne od D, że ZAEB = ZAFC = 90°. Punkty M i N są odpowiednio środkami odcinków 5(7 i EF. Dowieść, że 4.ANM = 90°.

26.    Dane jest 2n parami różnych liczb rzeczywistych 01,02,..., a_n, bufa,... ,b_n oraz tablica n x n. W pole leżące w z-tym wierszu i w j-tej kolumnie tablicy wpisano liczbę cii + bj. Udowodnić, że jeśli iloczyny liczb we wszystkich kolumnach są równe, to również iloczyny liczb we wszystkich wierszach są równe.

27.    W pola tablicy n x n wpisano wszystkie liczby naturalne od 1 do n². Udowodnić, że istnieją dwa pola sąsiadujące krawędzią takie, że wpisane w nie liczby różnią się o co najmniej n.

28.    Dana jest liczba naturalna n > 2. Udowodnić, że liczba 2²" + 1 posiada dzielnik pierwszy, który jest większy niż 2ⁿ⁺²(n + 1).

29.    Liczby dodatnie a, 6, x, y spełniają równości a² + x = b² + y oraz a + x² = b + y², a także nierówność a + b + x + y<2. Dowieść, że a = b oraz x = y.

10