0317

318

V. Funkcje wielu zmiennych

Jeśli spełnione są warunki 1) i 2) i ponadto dla każdego x z 9C istnieje skończona granica zwykła względem y

y(x) = lim/(x, y) ,

y-*b

to z tego, co udowodniliśmy, wynika, gdy zamienimy role x i y, że istnieje także i druga granica iterowana

lim y (x) = lim lim f(x, y)

x-*a    x-*a y~*b

i jest równa tej samej liczbie A; w tym wypadku obie granice iterowane są sobie równe.

Z udowodnionego twierdzenia wynika od razu, że w przykładach 1) i 2) granica podwójna nie istnieje (dlaczego?). Łatwo można się o tym przekonać także bezpośrednio. Na odwrót, w przykładzie 3) podwójna granica istnieje. Z nierówności

1

x sm —

y

widać, że jest ona równa 0. Nie należy jednak myśleć, że istnienie granicy podwójnej jest warunkiem koniecznym dla równości granic iterowanych. W przykładzie 4) z poprzedniego ustępu obie granice iterowane istnieją i są równe 0, chociaż nie ma granicy podwójnej.

§ 2. Funkcje ciągle

169. Ciągłość i nieciągłości funkcji wielu zmiennych. Niech funkcja f(x_x, x₂, ■.., x_n) będzie określona w pewnym zbiorze M punktów przestrzeni n-wymiarowej i niech M'(xj, x₂, ■■■, x'_n) będzie punktem skupienia tego zbioru należącym do tego samego zbioru.

Mówimy, że funkcja f(x_lt x₂, ..., x_n) jest ciągła w punkcie M'(x\, x₂, ..., x'_n), jeśli zachodzi równość

(1)    lim f{xi,x₂.....x_n) =f{x\, x₂, ..., x'„) ;

Xl

w przeciwnym razie będziemy mówili, że funkcja ma w punkcie M' nieciągłość.

„W języku epsilonów i delt” ciągłość funkcji w punkcie M' wyrazi się w następujący sposób [165]. Dla dowolnej z góry zadanej liczby £>0 musi istnieć taka liczba <5>0, że

(2)    \f(x₁,x₂,    *2, ...,jc;)|<e,

jeśli tylko

(3)    \x₂-x'₂\<5,    ,    \x„-x'_n\<6,

lub inaczej: dla £>0 musi istnieć takie r>0, że

jeśli tylko

MM'<r,