Matematyka 2 3

92 II. łiachujtek. rtiżniczkowy funkcji wielu zmiennych

Ciągi (p‘„) i (p'*_n) są zbiezne do punktu p₀ = (0.0), przy czym p'_n * p₀ i p"_a*Po dla neN Natomiast granice ciągów (f(p’_n)) i (f(p"_n)) są różne:

lim f(p'_n) = lim f( —.—) = lim 0 = 0.

n—*x    n-*x n n n-»x

lim f(p”_n)= lim f(ll)= lim^ = ~.

n »ot n n #-«) o j

Wynika stąd. źc funkcja f nie ma granicy w punkcie p₀ = (0.0) I Podobnie łatwo wykazuje się. że

a) lim

x -

urn -T-

<Mi Jx^z + y²

Ł-=l, b) lim

cl

lim

xy

= o,

— = _t

u.))-*io.o> x' + y*

X — V

d) lim /    ■ nie istnieje,

/_x: + _y:

_e) |_im i^Zl = 2.

(».yl-M 1.-11 x + y

0 lim

xy

«mhmo.oi x* -ł-y*

nie istnieje.

lim f(x,y).    lim g(x,y.z)

Uwaga. Zamiast piszemy lakżc

lim gł x.y.z). >-*y«

lim f(x.y),

‘-*VJ

GRANICE ITEROW AN'E. Dla wygody i jasności zapisu o-graniczymy się tu do funkcji dwóch zmiennych, chociaż o granicach ite-rowanych można mówić dla funkcji dowolnej liczby zmiennych

Granicę funkcji dwóch zmiennych

lim f(x,v)

l*.yi-^(x_u.y_ni

nazywamy granicą podwójną (krótko: granicą) w odróżnieniu j od granic itcrowanych:

lim( lim f(x,y)) oraz lim(lim f(x,y)). y-»y#    y~*yo *-♦*«

Granice iterowane funkcji nie muszą być jednakowe, nawet jeżeli obie istnieją (przykład 4.3 a)). 7. istnienia granic iterowanych (nawet jednakowych) nie wynika istnienie granicy podwójnej (przykład 4.3 b)), ani też z istnienia granicy podwójnej nie wynika istnienie granic iterowanych.

PRZYKŁAD 4.3.

a)    Niech

2 2

f(x.y) = ^^4 dla (x.y)*<0,0). x +y*

Obliczymy granice iterowane tej funkcji w punkcie p₀ =(0,0): x* — v*

lim(lim——^r) = liml = 1,

X »0 y-»0 x' + y* x-*0 x² — V*

lim(Iim——^r) = lim(—1) = —1.

>-♦(! X—o x* 4- y*    y-*o

Natomiast

3    ■*

x* -y* u.vmo,oi x* +y*

nic istnieje, co wykazaliśmy w przykładzie 4.2.

b)    Niech

f(x,y)=—dla (x,y)*(0,0). x‘ + y‘

Obliczamy granice iterowane tej funkcji w punkcie p₀ = (0,0): lim(lim .) = lim0 = 0.

» -*0 y-»0 x~ 4- y" x-*0

lim(lim ,) = Iim0 = 0.

y-»0 x-«0 x" + y* y-»0

Granica

lim

(JUy) *(0,U» x* 4- y

nie istnieje. gdyż dla ciągów (p'_n) i (p"_n) punktów P'n = (“■•“) oraz

P"„ =    n eN , zbieżnych do p₀ =(0,0). ciągi (f(p'_B)) i (f(p "„))

n n

mają różne granice: